Massimi e minimi per via elementare
Nella ricerca dei massimi e minimi a volte si possono usare metodi detti elementari perché non fanno uso dell'analisi e fra questi c'è l'utilizzo dei seguenti teoremi:
1) Se due numeri hanno somma costante, il loro prodotto è massimo quando sono uguali.
2) Se due numeri positivi hanno prodotto costante, la loro somma è minima quando sono uguali.
Sapreste dimostrarli, anche limitandovi ad uno solo? Naturalmente l'analisi va esclusa anche dalle dimostrazioni e se già le conoscete vi prego di tacere. Forza, è facile!
1) Se due numeri hanno somma costante, il loro prodotto è massimo quando sono uguali.
2) Se due numeri positivi hanno prodotto costante, la loro somma è minima quando sono uguali.
Sapreste dimostrarli, anche limitandovi ad uno solo? Naturalmente l'analisi va esclusa anche dalle dimostrazioni e se già le conoscete vi prego di tacere. Forza, è facile!
Risposte
"giammaria":
Se due numeri hanno somma costante, il loro prodotto è massimo quando sono uguali.
Non so cosa intendi con "analisi" (penso "derivate" e simili, ma non lo so), però ho in mente una soluzione da secondo superiore che dovrebbe andare, però non so se rientra nel caso dell'analisi.
Soluzione perfetta e con "analisi" intendevo proprio derivate e simili. Sono possibili anche dimostrazioni molto diverse; invito gli studenti a trovarle.
AM-GM la accetteresti? 
Cosa significa AM-GM? Comunque, puoi provare a postarla.
In pratica tra numeri reali positivi la media aritmetica (AM) è maggiore o uguale della media geometrica (GM).
Quindi se i due numeri sono $x$ e $y$ vale la relazione $(x+y)/2 \geq sqrt(xy)$
Fissando quindi $xy=k$ si ottiene $xy \leq k^2/4$ e tale valore viene ottenuto proprio quando $x=y=k/2$
Poi vabbè.. in questo caso se i numeri possono essere anche negativi si aggiusta un po'..
Mentre se è fissato il prodotto con $xy=h$ si ha $x+y \geq 2sqrt(h)$ e si ottiene l'uguaglianza con $x=y=sqrt(h)$.
Quindi se i due numeri sono $x$ e $y$ vale la relazione $(x+y)/2 \geq sqrt(xy)$
Fissando quindi $xy=k$ si ottiene $xy \leq k^2/4$ e tale valore viene ottenuto proprio quando $x=y=k/2$
Poi vabbè.. in questo caso se i numeri possono essere anche negativi si aggiusta un po'..
Mentre se è fissato il prodotto con $xy=h$ si ha $x+y \geq 2sqrt(h)$ e si ottiene l'uguaglianza con $x=y=sqrt(h)$.
Mi limito a dire che questa proprietà è interpretabile per via geometrica
(si tratterebbe di verificare che tutti i rettangoli isoperimetrici,di costante $2s$,
hanno estensione non maggiore d'ognuno "famoso" di essi,ossia i quadrati di lato $s/2$,
e che tutti i rettangoli equiestesi di area costante $p$ hanno perimetro non inferiore a quelli,tra essi,
comunemente noti col nome di quadrato..),
e dimostrabile in ambo i casi tramite la stessa via algebrica "elementare"
(un procedimento per assurdo che passa da somma e prodotto delle radici di un'opportuna equazione di II° grado,
e da un ovvia considerazione sul segno del suo discriminante..):
saluti dal web.
P.S.@Stefano
In fondo usare la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica è equivalente alla via algebrica
.
(si tratterebbe di verificare che tutti i rettangoli isoperimetrici,di costante $2s$,
hanno estensione non maggiore d'ognuno "famoso" di essi,ossia i quadrati di lato $s/2$,
e che tutti i rettangoli equiestesi di area costante $p$ hanno perimetro non inferiore a quelli,tra essi,
comunemente noti col nome di quadrato..),
e dimostrabile in ambo i casi tramite la stessa via algebrica "elementare"
(un procedimento per assurdo che passa da somma e prodotto delle radici di un'opportuna equazione di II° grado,
e da un ovvia considerazione sul segno del suo discriminante..):
saluti dal web.
P.S.@Stefano
In fondo usare la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica è equivalente alla via algebrica
.
Alle vostre belle osservazioni e soluzioni aggiungo quelle a cui avevo pensato io.
1) Detti $x,y$ i due numeri e $2a$ la loro somma
${(x=a+b),(y=a-b):}->xy=a^2-b^2$
e poiché $a$ è fisso, il valore massimo si ha per $b=0->x=y$
2) Detti $x,y$ i due numeri e $p$ il loro prodotto, poiché si parla di numeri positivi, possiamo cercare il minimo della somma al quadrato. Si ha
$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy=(x-y)^2+4p$
che è minimo se $x=y$
1) Detti $x,y$ i due numeri e $2a$ la loro somma
${(x=a+b),(y=a-b):}->xy=a^2-b^2$
e poiché $a$ è fisso, il valore massimo si ha per $b=0->x=y$
2) Detti $x,y$ i due numeri e $p$ il loro prodotto, poiché si parla di numeri positivi, possiamo cercare il minimo della somma al quadrato. Si ha
$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy=(x-y)^2+4p$
che è minimo se $x=y$
Per completezza spoilerizzo la verifica cui mi riferivo
(filtrata del ragionamento per assurdo cui accennavo,che forse ne diminuirebbe la leggibilità).
Saluti dal web.
Edit.
Ho notato che spoilerizzando può risultare diminuita,per cattiva impaginazione,la leggibilità dell'intervento
(in particolar modo si sovrappongono al Tex le parentesi..),
ma ritengo indispensabile lasciarlo nascosto affinchè qualche interessato al quesito iniziale lo usi solo per confrontare il proprio lavoro con le considerazioni da me svolte:
eventuali modifiche risolutive dei Prof moderatori sono pertanto ben accette.
(filtrata del ragionamento per assurdo cui accennavo,che forse ne diminuirebbe la leggibilità).
Saluti dal web.
Edit.
Ho notato che spoilerizzando può risultare diminuita,per cattiva impaginazione,la leggibilità dell'intervento
(in particolar modo si sovrappongono al Tex le parentesi..),
ma ritengo indispensabile lasciarlo nascosto affinchè qualche interessato al quesito iniziale lo usi solo per confrontare il proprio lavoro con le considerazioni da me svolte:
eventuali modifiche risolutive dei Prof moderatori sono pertanto ben accette.
Propongo una generalizzazione del quesiti n.ro 1. Precisamente, se x ed y sono variabili positive a somma costante (x+y=costante), allora il massimo della funzione $f(x,y) =x^py^q$, con p e q numeri razionali, si ha quando è :
$x/p=y/q$
E' da notare che, se $p=q=1$, il teorema si riduce a quello originario.
Per esempio, dovendo trovare il massimo di $f(x)=x^3(2-x)^2,0
Resta inteso che la vostra dimostrazione ( se proprio non resistete a volerla fare...) deve far uso di mezzi elementari, restando escluso ogni procedimento di Calcolo Infinitesimale...
$x/p=y/q$
E' da notare che, se $p=q=1$, il teorema si riduce a quello originario.
Per esempio, dovendo trovare il massimo di $f(x)=x^3(2-x)^2,0
Resta inteso che la vostra dimostrazione ( se proprio non resistete a volerla fare...
) deve far uso di mezzi elementari, restando escluso ogni procedimento di Calcolo Infinitesimale...
Se \(x+y=c\) allora \(x=c-y\), quindi \(x \cdot y = (c-y) \cdot y\). E quest'ultima è l'equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il basso... La conclusione è immediata.
"giammaria":
1) Se due numeri hanno somma costante, il loro prodotto è massimo quando sono uguali.
Propongo questo quesito ai miei studenti di seconda, a quelli di terza e a quelli di quinta.
Per la seconda:
Per la terza:
Agli studenti di quinta propongo il problema e lascio libera scelta di soluzione, qualcuno usa i metodi elementari, altri le derivate.
@Ciro.
A primo acchitto mi viene da sospettare che l'hp $p,q in QQ^+$ sia sostituibile,abbastanza a cuor leggero
(minimo comune multiplo e poi andiamo di non decrescenza della radice n-esimma),
con $p,q in NN$;
a quel punto potremmo procedere con la regola del binomio di Newton,
ma se la strategie è quella giusta il tutto mi pare non poco calcoloso:
se me la confermi ci ragiono per bene,che non ho molto tempo ma,ad istinto,
mi pare possano saltare fuori cose interessanti da quella tua generalizzazione
(tipo una qualche parentela con la disuguaglianza di Minkowsky nel caso di esponenti coniugati rispetto ad $1$..)!
Saluti dal web.
A primo acchitto mi viene da sospettare che l'hp $p,q in QQ^+$ sia sostituibile,abbastanza a cuor leggero
(minimo comune multiplo e poi andiamo di non decrescenza della radice n-esimma),
con $p,q in NN$;
a quel punto potremmo procedere con la regola del binomio di Newton,
ma se la strategie è quella giusta il tutto mi pare non poco calcoloso:
se me la confermi ci ragiono per bene,che non ho molto tempo ma,ad istinto,
mi pare possano saltare fuori cose interessanti da quella tua generalizzazione
(tipo una qualche parentela con la disuguaglianza di Minkowsky nel caso di esponenti coniugati rispetto ad $1$..)!
Saluti dal web.
La sostituzione di p,q razionali con p,q naturali è lecita. Quanto a Newton o a Minkowsky, puoi sempre provare. Più modestamente io ho una dimostrazione basata su AM-GM (che tra l'altro usa proprio la sostituzione di cui prima) non eccessivamente calcolosa e che parte dalla identità :
$x^py^q=p^pq^q(x/p)^p(y/q)^q$
dove p e q vanno qui intesi come interi positivi.
$x^py^q=p^pq^q(x/p)^p(y/q)^q$
dove p e q vanno qui intesi come interi positivi.
No,m'hai convinto subito:
la tua idea(al secondo membro intendo $2p+2q$ fattori,se ho ben inteso..)è decisamnete meno calcolosa della mia!
A quella possibile parentela provo a pensare comunque:
grazie infinite del contributo e dell'occasione di riflessione,in ogni caso .
Saluti dal web.
la tua idea(al secondo membro intendo $2p+2q$ fattori,se ho ben inteso..)è decisamnete meno calcolosa della mia!
A quella possibile parentela provo a pensare comunque:
grazie infinite del contributo e dell'occasione di riflessione,in ogni caso
.Saluti dal web.
@ theras. Tieni presente che $p,q$ sono delle costanti; a secondo membro basta quindi tener conto di $p+q$ fattori.
@ ciromario. Grazie dello spunto, col quale ho risolto un problema che mi ponevo da anni. Infatti l'unica dimostrazione che ne avevo trovato sui libri utilizzava le derivate e quindi non la ritenevo accettabile.
@ TUTTI. Non c'è ancora la soluzione del quesito di ciromario: cosa aspettate?
@ ciromario. Grazie dello spunto, col quale ho risolto un problema che mi ponevo da anni. Infatti l'unica dimostrazione che ne avevo trovato sui libri utilizzava le derivate e quindi non la ritenevo accettabile.
@ TUTTI. Non c'è ancora la soluzione del quesito di ciromario: cosa aspettate?
Si,Gianmaria,avevo dato un'occhiata attenta solo alla bontà computazionale della strategia di Ciro rispetto alla mia,
e me n'ero accontentato senza scendere nei dettagli dei conti:
a ben vedere è come dici tu,grazie.
Saluti dal web.
e me n'ero accontentato senza scendere nei dettagli dei conti:
a ben vedere è come dici tu,grazie.
Saluti dal web.
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