Mascheroni
Dato un segmento $AB$, costruire usando solo il compasso il punto $C$ tale che l'angolo $ Ahat(B)C $ sia retto e la distanza $BC = AB$.
Risposte
Bel problema.
Una soluzione con 11 circonferenze, penso si possa far di meglio, ma questo è quanto. Per evitare prolissità ed ambiguità ho adottato le seguenti convenzioni:
$ (X,Y) $ è la circonferenza di centro $ X $ e passante per $ Y $;
$ [X,Y] $ è sempre la stessa circonferenza, le parentesi quadre indicano solamente che è già stata disegnata in precedenza;
quando le intersezioni di due circonferenze appartengono a semipiani opposti con origine la retta $ AB $, queste vengono indicate con $ X_1 $ e $ X_2 $, dove i pedici indicano a quale dei due semipiani appartiene il punto.
Ciao
B.
$ (X,Y) $ è la circonferenza di centro $ X $ e passante per $ Y $;
$ [X,Y] $ è sempre la stessa circonferenza, le parentesi quadre indicano solamente che è già stata disegnata in precedenza;
quando le intersezioni di due circonferenze appartengono a semipiani opposti con origine la retta $ AB $, queste vengono indicate con $ X_1 $ e $ X_2 $, dove i pedici indicano a quale dei due semipiani appartiene il punto.
Ciao
B.
Complimenti
Ho una soluzione differente, ma credo utilizzi più circonferenze
Ho una soluzione differente, ma credo utilizzi più circonferenze
Credo si possa anche fare con qualche cerchio in meno.
Mascheroni aveva dimostrato come trovare l'intersezione tra una retta (dati due suoi punti) e una circonferenza usando solo il compasso.
Il procedimento si può trovare qui a pagina 8:
http://www.geogebraitalia.org/wp-conten ... mpasso.pdf
La risoluzione per come l'avevo pensata io consisteva nel trovare il punto $D$ giacente sulla stessa retta di $AB$ tale che $AB=BD$. Utilizzo la notazione di orsoulx con una piccola modifica: $(X, Y)$ è la circonferenza di centro $X$ e di raggio $Y$:
Una volta trovato il punto $D$, $B$ è il punto medio di $AD$. Perciò $(A, x) nn (D, x) = C_1, C_2$ dove $x$ è un'apertura a piacere e $C_1$ e $C_2$ giacciono sulla stessa retta di $BC$.
Con il procedimento di Mascheroni si individua l'intersezione tra la circonferenza $(B,bar(AB))$ e la retta individuata da $C_1$ e $C_2$, che è proprio il punto $C$ da noi cercato.
Non le ho contate, ma credo che le circonferenze utilizzate complessivamente siano più delle $11$ utilizzate da orsoulx...
Il procedimento si può trovare qui a pagina 8:
http://www.geogebraitalia.org/wp-conten ... mpasso.pdf
La risoluzione per come l'avevo pensata io consisteva nel trovare il punto $D$ giacente sulla stessa retta di $AB$ tale che $AB=BD$. Utilizzo la notazione di orsoulx con una piccola modifica: $(X, Y)$ è la circonferenza di centro $X$ e di raggio $Y$:
Una volta trovato il punto $D$, $B$ è il punto medio di $AD$. Perciò $(A, x) nn (D, x) = C_1, C_2$ dove $x$ è un'apertura a piacere e $C_1$ e $C_2$ giacciono sulla stessa retta di $BC$.
Con il procedimento di Mascheroni si individua l'intersezione tra la circonferenza $(B,bar(AB))$ e la retta individuata da $C_1$ e $C_2$, che è proprio il punto $C$ da noi cercato.
Non le ho contate, ma credo che le circonferenze utilizzate complessivamente siano più delle $11$ utilizzate da orsoulx...
Pignolerie.
Esistono due tipi di 'compasso'. Il compasso della geometria euclidea è uno strumento (teorico) in grado di tracciare una circonferenza solo quando siano noti due punti: il centro della circonferenza ed un punto che appartiene alla medesima; viene chiamato 'molle' o 'collassabile'. Si dimostra facilmente che dato un punto (centro) ed un segmento avente due estremi distinti dal primo è possibile, mediante un compasso collassabile tracciare la circonferenza con il centro dato e raggio uguale al segmento assegnato. Ma per far questo occorre una costruzione che comporta quattro circonferenze ausiliarie.
Ad esempio nella costruzione che ho proposto, per tracciare l'ultima circonferenza che doveva avere centro in $ D $ e raggio uguale a $ BH_1 $, ho, utilizzando tre circonferenze (la quarta era già disegnata), 'trasportato' il segmento $ BH_1 $ nel segmanto $ DJ $. Se si ritiene utilizzabile un compasso non collassabile, le circonferenze necessarie sono solo otto.
Ciao
B.
Esistono due tipi di 'compasso'. Il compasso della geometria euclidea è uno strumento (teorico) in grado di tracciare una circonferenza solo quando siano noti due punti: il centro della circonferenza ed un punto che appartiene alla medesima; viene chiamato 'molle' o 'collassabile'. Si dimostra facilmente che dato un punto (centro) ed un segmento avente due estremi distinti dal primo è possibile, mediante un compasso collassabile tracciare la circonferenza con il centro dato e raggio uguale al segmento assegnato. Ma per far questo occorre una costruzione che comporta quattro circonferenze ausiliarie.
Ad esempio nella costruzione che ho proposto, per tracciare l'ultima circonferenza che doveva avere centro in $ D $ e raggio uguale a $ BH_1 $, ho, utilizzando tre circonferenze (la quarta era già disegnata), 'trasportato' il segmento $ BH_1 $ nel segmanto $ DJ $. Se si ritiene utilizzabile un compasso non collassabile, le circonferenze necessarie sono solo otto.
Ciao
B.
"orsoulx":
Esistono due tipi di 'compasso'.
Questa differenza non l'avevo considerata... o.o
Grazie della precisazione :)
Una pagina (la 35-esima) estratta dal testo del Mascheroni che si può scaricare da qua:
https://archive.org/details/LaGeometriaDelCompasso1901
PS
7 cerchi sono sufficienti, mi pare.
https://archive.org/details/LaGeometriaDelCompasso1901
PS
7 cerchi sono sufficienti, mi pare.
Ebbene, sì. Mascheroni fornisce una costruzione con sole 7 circonferenze, che si può trasformare in una da 9 circonferenze con compasso collassabile, in quanto due delle quattro circonferenze occorrenti al trasporto sono già presenti.
"orsoulx":
Ebbene, sì. Mascheroni fornisce una costruzione con sole 7 circonferenze, che si può trasformare in una da 9 circonferenze con compasso collassabile, ...
sono solo 7, anche imponendo l'uso del "compasso euclideo", mi pare.
Hai ragione. E con il compasso non collassabile ne bastano sei.
"orsoulx":
Hai ragione. E con il compasso non collassabile ne bastano sei.
Hai ragione pure tu. E credo che non sia possibile consumare meno grafite di così.
"sprmnt21":
sono solo 7, anche imponendo l'uso del "compasso euclideo", mi pare.
solo 6 cerchi anche con il compasso euclideo.
"sprmnt21":
solo 6 cerchi anche con il compasso euclideo.
Beh! Visto che sono trascorse più di tre settimane dall'annuncio, senza che il diversamente educato autore abbia trovato il tempo per postare la costruzione, metto in spoiler quella, con sette circonferenze, che ho ricavato dalle costruzione di Mascheroni.
Con il compasso non collassabile, i passi (3) e (4) possono essere sostituiti da $ (D, H_1) \cap (B, \overline {DH_1}) $, in questo modo le circonferenze necessarie si riducono a sei.
Ciao
B.
Sembrava che dopo tanti :"hai ragione" tutta la discussione fosse chiusa. Tra l'altro, il problema è stato trattato gradualmente "perfezionando" man mano la soluzione.
Pertanto non ho "sentito" l'esigenza dichiarire ulteriormente.
Tanto meno c'è stata una richiesta esplicita o implicita in tal senso da parte di alcuno.
Io quando mi sembra ci sia necessità (perla "difficoltà" del problema) di chiarimenti per la soluzione da me proposta mi dichiaro disponibile. In questo caso non mi pareva il caso è non ho più pensato al problema.
Se tu invece di continuare ad offendere, avessi anche solo sottolineato la necessità di qualche dettaglio in più, ioavrei senz'altro fatto seguito.
Ora non so bene cosa pensare.
Se tu sia più interessato a "litigare" con me o a scrivere di matematica.
Nel primo caso sappi che ho poco tempo enonlovoglio sprecare.
Nel secondo caso, chiedi educatamente ed educatamente ti sarà risposto.
Magari chi ha proposto il problema per non dire del moderatore potrebbe intervenire
PS
Magari potrai avere la soddisfazione di trovare la spiegazione sbagliata.
Chissà?
PPS
Sto invacanza e ho solo il telefonino con me, quindi non posso mandare disegni.
Pertanto non ho "sentito" l'esigenza dichiarire ulteriormente.
Tanto meno c'è stata una richiesta esplicita o implicita in tal senso da parte di alcuno.
Io quando mi sembra ci sia necessità (perla "difficoltà" del problema) di chiarimenti per la soluzione da me proposta mi dichiaro disponibile. In questo caso non mi pareva il caso è non ho più pensato al problema.
Se tu invece di continuare ad offendere, avessi anche solo sottolineato la necessità di qualche dettaglio in più, ioavrei senz'altro fatto seguito.
Ora non so bene cosa pensare.
Se tu sia più interessato a "litigare" con me o a scrivere di matematica.
Nel primo caso sappi che ho poco tempo enonlovoglio sprecare.
Nel secondo caso, chiedi educatamente ed educatamente ti sarà risposto.
Magari chi ha proposto il problema per non dire del moderatore potrebbe intervenire
PS
Magari potrai avere la soddisfazione di trovare la spiegazione sbagliata.
Chissà?
PPS
Sto invacanza e ho solo il telefonino con me, quindi non posso mandare disegni.
"sprmnt21":
Magari potrai avere la soddisfazione di trovare la spiegazione sbagliata.
Chissà?
Queste affermazioni saranno consuete nella terra dei diversamente educati dove ti vanti di risiedere. Io sarei soddisfatto se conoscessi una costruzione con sei sole circonferenze, usando un compasso non collassabile, ma non ne sono capace.
Non ho mai pensato che la tua affermazione potesse essere falsa (sarebbe ben squallido se, come insinui, fosse così).
Quanto al resto lasciamo perdere, certe scuse da bambini sorpresi a rubare la marmellata, si commentano da sole.
Sinceramente e con tutta la buona volontà del mondo, ma perché mai dovrei evitare di fornire spiegazioni se solo pensassi interessasssero a qualcuno ( a maggior ragione ad uno che dimostra tanta capacità come te)?
Una delle maggiori gratificazioni nel risolvere questi problemi (dopo quella immediata, personale) è proprio quella di poterle condividere con qualcuno (e, nel tuo caso, -ripeto- non uno qualsiasi) che le sappia apprezzare perché ci ha "lavorato" ed è all'altezza della situazione. Nel mio caso, in particolare, non aspetto altro che poter esibire le dimostrazioni che con tanta o poca fatica ho trovato
.
Per dire, io "soffro" tanto nel vedere passare lisce certe mie fatiche sul problema delle "similitudini" dove mi aspetterei che per la difficolta e interesse del problema ci fossero molti più interventi che permettessero magari di trovare altre prove.
Per non dire del problema intitolato "geometria" euclidea", mi piacerebbe approfondire la questione, ma non voglio ululare alla luna. Ho fatto dei sintetici riferimenti, ma se nessuno è interessato a discuterne, non mi va di dedicarci più tempo. Resto dispiaciuto dell'apparente disinteresse, ma non conoscendo nulla delle persone del forum né della persona che ha proposto il problema, non posso "pretendere" nulla.
Perciò, accolgo con piacere la richiesta di discutere anche il caso rimasto "aperto".
In prima battuta, provo a dare una soluzione parziale a mo' di suggerimento.
Ma mi serve un po' di tempo per "tarare" il "tiro".
Una delle maggiori gratificazioni nel risolvere questi problemi (dopo quella immediata, personale) è proprio quella di poterle condividere con qualcuno (e, nel tuo caso, -ripeto- non uno qualsiasi) che le sappia apprezzare perché ci ha "lavorato" ed è all'altezza della situazione. Nel mio caso, in particolare, non aspetto altro che poter esibire le dimostrazioni che con tanta o poca fatica ho trovato
. Per dire, io "soffro" tanto nel vedere passare lisce certe mie fatiche sul problema delle "similitudini" dove mi aspetterei che per la difficolta e interesse del problema ci fossero molti più interventi che permettessero magari di trovare altre prove.
Per non dire del problema intitolato "geometria" euclidea", mi piacerebbe approfondire la questione, ma non voglio ululare alla luna. Ho fatto dei sintetici riferimenti, ma se nessuno è interessato a discuterne, non mi va di dedicarci più tempo. Resto dispiaciuto dell'apparente disinteresse, ma non conoscendo nulla delle persone del forum né della persona che ha proposto il problema, non posso "pretendere" nulla.
Perciò, accolgo con piacere la richiesta di discutere anche il caso rimasto "aperto".
In prima battuta, provo a dare una soluzione parziale a mo' di suggerimento.
Ma mi serve un po' di tempo per "tarare" il "tiro".
Per adesso posto solo la figura che dovrebbe essere abbastanza "parlante", ovviamente comunque disponibile a fornire nei dettagli la mia versione giustificata dei fatti:
Il sesto cerchio dopo $c_1, c_2, ..., c_5$ è quello innominato verde di centro $C_1$ passante per il punto $G$ intersezione di $c_4$ e $c_5$.
PS
Continuo ad essere meravigliato del fatto che orsoulx non abbia trovato questa soluzione, tanto da potermi aspettare che ci sia qualcosa che non vada nella mia.
Il sesto cerchio dopo $c_1, c_2, ..., c_5$ è quello innominato verde di centro $C_1$ passante per il punto $G$ intersezione di $c_4$ e $c_5$.
PS
Continuo ad essere meravigliato del fatto che orsoulx non abbia trovato questa soluzione, tanto da potermi aspettare che ci sia qualcosa che non vada nella mia.
"sprmnt21":
Magari chi ha proposto il problema per non dire del moderatore potrebbe intervenire
Mi ha fatto molto piacere vedere che la mia questione ha potuto riscuotere tanto interesse, ma mi dispiace assolutamente vedere che ciò ha potuto dare adito a discussioni.
Dal mio punto di vista, non sono riuscito a seguire gli ultimi sviluppi della questione dopo la pubblicazione dell'estratto dell'opera di Mascheroni, anche per mancanza personale di tempo.
Faccio i complimenti ad entrambi per le costruzioni trovate, da solo non sarei assolutamente riuscito a fare altrettanto.
Ripeto, però: ritengo tali discussioni inutili e assolutamente evitabili, credo che lo spirito del forum sia un altro...
"dr00ster":
Continuo ad essere meravigliato del fatto che orsoulx non abbia trovato questa soluzione, tanto da potermi aspettare che ci sia qualcosa che non vada nella mia.
La soluzione, a mio avviso, è perfetta e sono molto soddisfatto di aver potuto apprezzarla, grazie. Non ci sarei mai arrivato autonomamente.
NB Questo non modifica il mio giudizio sulla diversità della tua educazione (ne conosci il motivo) e la mia intenzione di stare a distanza dalle discussioni che ti vedono fra i partecipanti.
Il citato è, ovviamente, sprmnt 21, devo aver cliccato sul pulsante sbagliato.
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