Lunghezza costante

[giammaria2]

Risolvendo un problema di trigonometria, ho casualmente trovato la seguente proprietà; mi chiedo se ne esiste una dimostrazione elementare non troppo lunga. Per ora non saprei rispondere.
Su una circonferenza di centro $O$ e raggio $r$ sono presi i due punti $A,B$, con $AhatOB<90°$. Dette $P,Q$ le proiezioni su $OA,OB$ di un qualsiasi punto $M$ dell'arco $AB$, dimostrare che la lunghezza di $PQ$ non dipende dalla posizione di $M$.

[Andrea571]

Guarda, occhio e croce, ti dico che vale anche con \(\displaystyle AOˆB=90° \), non per forza minore ( non chiedermi perché, mi sembra così )

Bene, io inizierei col prendere il caso più generico: un settore circolare di \(\displaystyle 90° \) di ampiezza, e raggio \(\displaystyle r \): chiamiamo \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) quei punti etcetera: prenderei un caso semplice, in cui \(\displaystyle M=A \) (in poche parole, \(\displaystyle M \) è su uno dei due raggi che racchiude il settore circolare: in quel caso, \(\displaystyle PQ \) equivale esattamente a \(\displaystyle r \). Stessa cosa con \(\displaystyle M=B \): \(\displaystyle PQ \) equivale a \(\displaystyle r \).....da qui mi sono bloccato

Se invece \(\displaystyle M \) dividesse esattamente a metà l'arco, \(\displaystyle (PQ)^2 \) sarebbe: \(\displaystyle (MQ)^2+(MP)^2 \) (teorema di pitagora insomma, perché in questo caso l'angolo \(\displaystyle QMˆP \) è retto, ma anche questo l'ho detto a occhio, non sò dirti perché))

Comunque si, hai ragione, comunque sia presa \(\displaystyle M \), \(\displaystyle PQ \) vale sempre \(\displaystyle r \)

[giammaria2]

Non escludo che la tesi valga per angoli ancora maggiori; ho messo quell'ipotesi solo perché quello era il caso da me esaminato. Comunque se $M$ coincide con un estremo e l'angolo non è retto, hai $PQ=rsinAhatOB$; la difficoltà sta proprio nel proseguire senza trigonometria.
Nel caso di angolo retto, la dimostrazione è facile; la lascio a qualche volenteroso.

[Pianoth]

Testato in geogebra, questa proprietà vale anche per angoli fino a $180°$, basta che il segmento $\bar{PQ}$ esiste.[geogebra][/geogebra]
Non ho una chiara idea neanche io del perché, però...

[Sk_Anonymous]

Dimostrazione elementare che PQ non dipende dalla posizione di M ma solo dal raggio r della circonferenza e dall'ampiezza dell'angolo AOB.
Il quadrilatero OPMQ, avendo gli angoli opposti in P e in Q retti e quindi supplementari, è inscrittibile nella circonferenza di diametro OM. Per il teorema della corda risulta allora:
$PQ=OM\cdot sin(POQ)=r\cdot sin(AOB)$
C.D.D.

[Pianoth]

Ah, ma certo! Pensa che avevo notato anche io che aveva gli angoli opposti supplementari ed era di conseguenza inscrittibile, non avevo pensato al resto.

[giammaria2]

Bellissimo! L'osservazione di Pianoth è anche mia; i miei complimenti.

[theras]

@Gianmaria.
Piccola curiosità:
è nato tutto dal thread su max e min. aperto di recente nella stanza delle Superiori?
Saluti dal web.

[giammaria2]

Sì, proprio così.