Limiti di una funzione continua

[Sk_Anonymous]

Esercizio facile. Sia \( f :[0,+\infty) \to \mathbb{R}\) continua. Definiamo \[ A = \{ a \in \mathbb{R} \, : \, \exists \, (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq [0,+\infty) \text{ con } \lim_n x_n = \infty \text{ t.c. } a= \lim_n f(x_n) \}. \]Mostrare che se \(a,b \in A\) e \(a< b\), allora \([a,b] \subset A\).

[mklplo751]

Non so se ho capito bene l'ipotesi,ma provo comunque a "fare" l'esercizio.

Allora,poiché $lim_{n->+oo} x_n=+oo$;${x}_(n in NN)$ è una successione monotona crescente(se non ricordo male).
Siano $(x_n),(y_n)$ due successioni monotone crescenti e siano $a=lim_{n->+oo} f(x_n)$ e $b=lim_{n->+oo}f(y_n)$,con $a+oo} f(x_n)+oo}f(y_n)$.Poi,per ogni successione monotona crescente $(z_n)$,tale che $lim_{n->+oo}f(x_n)<=lim_{n->+oo}f(z_n)<=lim_{n->+oo}f(y_n)$,esiste $c in [a,b]$,infatti,se $c$ non appartenesse ad $[a,b]$,la disuguaglianza $lim_{n->+oo}f(x_n)<=lim_{n->+oo}f(z_n)<=lim_{n->+oo}f(y_n)$ non sarebbe verificata.Inoltre dato che tutte le successioni monotone soddisfacenti $lim_{n->+oo}f(x_n)<=lim_{n->+oo}f(z_n)<=lim_{n->+oo}f(y_n)$,possono essere messe in corrispondenza biiunivoca con $[a,b]$,si ha che tutti gli elementi dell'intervallo $[a,b]$,appartengono ad $A$ e da ciò segue la tesi.

[Sk_Anonymous]

Non ti seguo; penso ci sia qualcosa di giusto, ma mi sembra tutto confuso. Dove usi la continuità, per esempio?

[mklplo751]

Onestamente,non lo so,penso che la continuità l'avrei usata solo se le successioni convergessero,ma qui non so in che modo adoperarla.

[anto_zoolander]

mezzo hint? Io pensavo di usare l’uniforme continuità

[Sk_Anonymous]

Hint:

Non saprei bene che hint dare. Provate a "visualizzare" il tipo di comportamento che possa avere una funzione continua con quella proprieta'; potete assumere che le due successioni per \(a\) e \(b\) siano del tipo \(x_1 < y_1 < x_2 < y_2 < \dots\), poi usare il teorema dei valori intermedi.

Soluzione:

Si puo' fare cosi': se \(a,b \in A\) e \(x_n\), \(y_n\) come nelle ipotesi si puo', a meno di estrarre sottosuccessioni e di re-indicizzare, assumere che \( x_1 < y_1 < x_2 < y_2 < \dots \). Ora, per ogni \( \epsilon > 0 \) esistera' \( N> 0\) tale che \( |f(x_k) - a | < \epsilon \) e \( |f(y_k) - b | < \epsilon \) per ogni \( k \ge N\). Sia ora \( c \in (a+ \epsilon, b-\epsilon)\); qui entra in gioco la continuita': per il teorema dei valori intermedi si trova una successione \( z_k \in [x_k,y_k]\) tale che \(f(z_k)=c\) per \(k \ge N\). Ovviamente \( z_j \to \infty\) per \(j \to \infty\). Si conclude osservando che per ogni \( d \in (a,b)\) esiste \( \epsilon > 0\) tale che \( d \in (a+\epsilon, b-\epsilon)\), e si itera il ragionamento di prima.

[mklplo751]

Ripensandoci,mi è venuta un'altra possibile dimostrazione,anche se ho molti dubbi(ho infatti usato la definizione di continuità che ho capito meno,anche per capirla meglio).

Siano $a$ e $b$ due elementi di $A$,e siano $(x_n)$ e $(y_n)$ due successioni tali che $lim_{n->+oo}x_n=+oo$ e $lim_{n->+oo}y_n=+oo$ e tali che $lim_{n->+oo} f(x_n)=lim_{n->+oo}a_n=a$ e $lim_{n->+oo} f(y_n)=lim_{n->+oo}b_n=b$.Allora,per la definizione di continuità \( \forall U_a \exists U_{+\infty}:\forall x_n \in U_{+ \infty} \cap \mathbb{R}_0^+,a_n \in U_a \) e \( \forall U_b \exists U_{+\infty}:\forall y_n \in U_{+ \infty} \cap \mathbb{R}_0^+,b_n \in U_b \) (dove $U$ indica gli intorni di $a$ e di $b$).Ora,preso $c in U_a \cap U_b$,possiamo scrivere \( \forall U_a \cap U_b \exists U_{+\infty}:\forall z_n \in U_{+ \infty} \cap \mathbb{R}_0^+,\frac{(a_n+b_n)}2 \in U_a \cap U_b \) ,poi,ponendo $U_c=U_a \cap U_b$ e $(a_n+b_n)/2=c_n$,possiamo affermare che $c in A$ e reiterando,otteniamo che $[a,b] \subset A$.

[otta96]

Sia $aM$, inoltre $EEm':b_(m')>a_(n')$. Osservo che $f(a_(n'))=a Ora sia $c_1\inf^(-1)(c)$ e dato $c_(n-1)\inf^(-1)(c)$, sia $c_n\inf^(-1)(c)nn(n,+\infty)$ a questo punto combinando tutto si ottiene $\lim_{n->+\infty}c_n>\lim_{n->+\infty}n=+\infty$ e $\lim_{n->+\infty}f(c_n)=\lim_{n->+\infty}c=c$, quindi $c\inA$.

[Sk_Anonymous]

@mklplo: dici una cosa falsa nelle prime due righe: prendi \( f(x) = \sin(x)\) e \(x_n=\pi /2 + 2\pi n\), \(y_n = \pi + 2 \pi n\).

@otta96: e' sostanzialmente l'idea giusta, ma non dimostri che \( f(a_n)=a\) e \(f(b_n)=b\) definitivamente (anche se in fondo non serve che sia cosi', basta rifarsi alla def di limite come ho fatto io in spoiler).

[mklplo751]

ho modificato la soluzione nel mio post precedente,spero che ora vada bene.

[otta96]

"Delirium":@otta96: e' sostanzialmente l'idea giusta, ma non dimostri che \( f(a_n)=a\) e \(f(b_n)=b\) definitivamente (anche se in fondo non serve che sia cosi', basta rifarsi alla def di limite come ho fatto io in spoiler).

Hai perfettamente ragione Delirium, io non so che $f(a_n)=a$ e $f(b_n)=b$, comunque so come si fa, solo che mi sta fatica scriverlo, lascio ad altri il divertimento, comunque sostanzialmente quello che cambia è come si costruiscono i $c_n$, bisogna prendere $a_n,b_n$ tali che la loro immagine sia abbastanza vicino a $a,b$ e poi è uguale.

[Sk_Anonymous]

@otta: yes, e' quello che (piu' o meno) ho scritto io in spoiler.

@mklplo: ancora, hai scritto un flusso di coscienza che non riesco a seguire. Ad un certo punto prendi due (che suppongo essere) intorni aperti \(U_a \) e \(U_b\) e poi dici che \(c \in U_a \cap U_b\). Ma chi ti assicura che \( U_a \cap U_b \ne \varnothing\)?

[mklplo751]

@delirium:scusa,la parte che spiegavo cosa indicano $U_a$ e $U_b$,l'avevo cancellata,per sbaglio.Comunque sarebbero degli intorni chiusi aventi come "raggio" $|b-a|$.

[mklplo751]

Alla fine mi sono arreso e ho visto la soluzione,e mi sono ricordato l'esistenza del teorema dei valori intermedi,inoltre mi sono reso conto che i miei ragionamenti,senza senso,erano un tentativo,non voluto,di dimostrare tale teorema per mezzo della definizione di continuità(quella che usa gli intorni).

[Sk_Anonymous]

"mklplo":Alla fine mi sono arreso e ho visto la soluzione,e mi sono ricordato l'esistenza del teorema dei valori intermedi,inoltre mi sono reso conto che i miei ragionamenti,senza senso,erano un tentativo,non voluto,di dimostrare tale teorema per mezzo della definizione di continuità(quella che usa gli intorni).

Ci hai provato, apprezzo la tua pervicacia. Per quanto elementare/immediato potesse essere/sembrare, si tratta(va) comunque di un problema tratto da un vecchio qualia per la scuola di dottorato di Berkeley.

L'importante è che tu non assuma la consuetudine al paralogismo, perché questo potrebbe danneggiarti in futuro - il ragionare in maniera errata può diventare meccanismo nell'inesperto.

[mklplo751]

grazie del consiglio.

[domino.h4ck]

Ci provo con una dimostrazione un po' bizzarra (infatti non sono sicuro della sua veridicità):

Proviamolo per assurdo.
Poiché la funzione ammette immagini a e b, per il Teorema dei valori intermedi la funzione assume valori in tutto l'intervallo [a,b].
Supponiamo esista \(\displaystyle y_1 \in [a,b] \) t.c. \(\displaystyle y_1 \not\in A \). Allora possiamo domandarci se \(\displaystyle [a,y_1[ \subset A \) e supporre, come fatto prima, che esista \(\displaystyle y_2 \in [a,y_1[ \) t.c. \(\displaystyle y_2 \not\in A \).
Iterando il ragionamento possiamo costruire la successione \(\displaystyle \{y_n\}_{n\in\mathbf{N}} \) tale che \(\displaystyle y_n \in [a, y_{n-1}[ \) e \(\displaystyle y_n \not\in A \), cioè la successione di tutte le immagini di f che non appartengono ad A. Per la continuità di f si ha:

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n = a \Rightarrow a\not\in A\)

Assurdo.

In realtà non convince neanche a me. Così facendo, sto supponendo che esista una quantità numerabile di elementi tra a e b che non appartengono ad A. Con questa supposizione forse, magari aggiustandola da qualche parte, potrebbe essere una dimostrazione (forse). Ma supponendo che ne esista uno, o comunque una quantità finita, credo che non mi porti a nulla. Che ne pensate (se ne valga la pena pensarci)?

[domino.h4ck]

Nessuno di quelli del topic ha piacere di ragionare questa via?

[otta96]

"DoMinO":Poiché la funzione ammette immagini a e b, per il Teorema dei valori intermedi la funzione assume valori in tutto l'intervallo [a,b].

Già qui c'è un errore, perché non sai che la funzione ammette i valori $a$ e $b$.