Le cifre delle potenze
OWN
$k,n\in NN, n>0$
Sia $a_k(n)$ la prima cifra a sinistra del numero $n^k$ scritto in base $10$.
Ad esempio $a_4(2) = 1$ perché $2^4=16$
Sia $A(n)$ l'insieme che contiene tutti i valori assunti da $a_k(n)$ quando $k$ varia nei numeri naturali.
Dimostrare (o smentire?) che:
se $n$ è una potenza di $10$ allora $A(n) = {1}$
altrimenti $A(n) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
$k,n\in NN, n>0$
Sia $a_k(n)$ la prima cifra a sinistra del numero $n^k$ scritto in base $10$.
Ad esempio $a_4(2) = 1$ perché $2^4=16$
Sia $A(n)$ l'insieme che contiene tutti i valori assunti da $a_k(n)$ quando $k$ varia nei numeri naturali.
Dimostrare (o smentire?) che:
se $n$ è una potenza di $10$ allora $A(n) = {1}$
altrimenti $A(n) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
Risposte
\(\displaystyle 10^k \) con k naturale equivale ad \(\displaystyle 1 \) seguito da k zeri..
Se n è una potenza di \(\displaystyle 10 \) lo si potrà riscrivere come \(\displaystyle 10^{kl} \) con \(\displaystyle l \) costante, riportandoci alla proposizione iniziale per le potenze di 10.
Se n è una potenza di \(\displaystyle 10 \) lo si potrà riscrivere come \(\displaystyle 10^{kl} \) con \(\displaystyle l \) costante, riportandoci alla proposizione iniziale per le potenze di 10.
Bene!
Rimane il caso $n$ non potenza di $10$,
Rimane il caso $n$ non potenza di $10$,
Direi che basta elevare ognuna delle cifre alla potenza con esponente 1.
Non capisco cosa vuoi dire con l'ultimo messaggio...
Forse non hai compreso bene il testo, quindi ti faccio un esempio:
Vogliamo capire che elementi contiene l'insieme $A(2)$
Le prime potenze di $2$ sono:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024...
Da questi primi elementi scopriamo che di sicuro 1,2,4,8,3,6,5 (le prime cifre delle potenze) sono contenuti in $A(2)$.
In realtà si scopre che andando un po' più avanti si ottengono anche 7 e 9 come prime cifre, in particolare $2^53$ inizia con $9$ e $2^56$ inizia con $7$.
Quindi abbiamo dimostrato che $A(2) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
Forse non hai compreso bene il testo, quindi ti faccio un esempio:
Vogliamo capire che elementi contiene l'insieme $A(2)$
Le prime potenze di $2$ sono:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024...
Da questi primi elementi scopriamo che di sicuro 1,2,4,8,3,6,5 (le prime cifre delle potenze) sono contenuti in $A(2)$.
In realtà si scopre che andando un po' più avanti si ottengono anche 7 e 9 come prime cifre, in particolare $2^53$ inizia con $9$ e $2^56$ inizia con $7$.
Quindi abbiamo dimostrato che $A(2) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
Equivarrebbe a dimostrare che esistono per ogni n almeno 10 argomenti (ognuno con cifra iniziale diversa) della funzione logaritmo in base n, tali che il risultato sia naturale, ho capito bene?
Detto in termini più difficili, sì (più precisamente sono 9 argomenti).
Dunque, siccome per ora non mi vengono idee migliori, prendiamo la via del logaritmo.
Qualitativamente (lasciando perdere la scala sugli assi), la funzione \(\displaystyle y=log_{n}(x) \) avrà questo andamento:
Sarà più o meno accentuata al variare di n, ma qualitativamente sarà questa.
Ora immaginiamo di suddividere l'asse Y in intervalli aumentando progressivamente la cifra iniziale di essi, secondo questo criterio:
10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,200,300,...
Man mano che si sale l'intervallo diventa sempre più grande e ricco di naturali.
A ogni suddivisione, confronto il relativo intervallo sull'asse X, ad esempio:
Per il logaritmo, essendo una funzione crescente concava, un intervallo sufficientemente ampio preso sull'asse Y fa corrispondere un intervallo di ampiezza nettamente superiore, se confrontati, sull'asse X.
Inoltre la probabilità di trovare una coppia di naturali \(\displaystyle (x,y(x)) \) cresce man mano che crescono i naturali disponibili negli intervalli via via crescenti.
Quindi se la probabilità è bassa in 10,20,30,... aumenterà in 100,200,300... e ancora di più in 1000,2000,3000..., e così via fin quando non avrò una coppia di intervalli sufficientemente ampi da trovare un y naturale con la prima cifra cercata, a cui corrisponda un x naturale.
Questa è più che altro una stima, intanto vedo di farmi venire idee migliori.
Buona serata milizia96
PS: I disegni fanno un po' pena, scusami.
Qualitativamente (lasciando perdere la scala sugli assi), la funzione \(\displaystyle y=log_{n}(x) \) avrà questo andamento:
Sarà più o meno accentuata al variare di n, ma qualitativamente sarà questa.
Ora immaginiamo di suddividere l'asse Y in intervalli aumentando progressivamente la cifra iniziale di essi, secondo questo criterio:
10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,200,300,...
Man mano che si sale l'intervallo diventa sempre più grande e ricco di naturali.
A ogni suddivisione, confronto il relativo intervallo sull'asse X, ad esempio:
Per il logaritmo, essendo una funzione crescente concava, un intervallo sufficientemente ampio preso sull'asse Y fa corrispondere un intervallo di ampiezza nettamente superiore, se confrontati, sull'asse X.
Inoltre la probabilità di trovare una coppia di naturali \(\displaystyle (x,y(x)) \) cresce man mano che crescono i naturali disponibili negli intervalli via via crescenti.
Quindi se la probabilità è bassa in 10,20,30,... aumenterà in 100,200,300... e ancora di più in 1000,2000,3000..., e così via fin quando non avrò una coppia di intervalli sufficientemente ampi da trovare un y naturale con la prima cifra cercata, a cui corrisponda un x naturale.
Questa è più che altro una stima, intanto vedo di farmi venire idee migliori.
Buona serata milizia96
PS: I disegni fanno un po' pena, scusami.
Il fatto è che l'argomento che hai esposto tu funzionerebbe allo stesso modo anche se $n$ fosse potenza di $10$, ma è chiaro che in quel caso non esistono potenze che inizino per cifre diverse da $1$.
Quindi bisognerebbe trovare qualche altra strategia...
Quindi bisognerebbe trovare qualche altra strategia...
HINT:
Nessuno sa rispondere alla domanda che ho messo nel testo nascosto?
Ne faccio un'altra:
Ne faccio un'altra:
Osserviamo innanzitutto che se $a$ e $x$ due numeri reali, $0
Ecco, non saprei giudicare quanto scritto da ficus2002 (soprattutto nella seconda parte del suo messaggio) perché non padroneggio ancora nozioni come la "densità" di un insieme.
Visto che è passato un po' di tempo, metto i passaggi della soluzione che avevo pensato io:
Se ho un numero razionale $1 < x < 11/10$, allora la prima cifra di $x^{k+1}$ è uguale a quella di $x^k$, oppure è uguale a quella di $x^k + 1$.
Ci si convince di questo perché la differenza $x^{k+1}-x^k = x^k\cdot(x-1)$ è minore di $x^k/10$, e aggiungendo ad un numero una quantità minore di un decimo del numero stesso, è impossibile aumentare di più di $1$ la prima cifra.
Però si vede abbastanza facilmente che la prima cifra di $x^k$, con $k$ che varia tra i numeri naturali, non raggiunge mai un valore e rimane poi fisso su quello, quindi assumerà uno dopo l'altro tutti i valori tra $1$ e $9$ (senza saltarne nessuno!)
Similmente se ho un numero razionale $1 < x < 11/10$, allora le prime cifre delle potenze di $x$ assumono (questa volta in ordine decrescente) tutti i valori da $1$ a $9$.
Come conseguenza di tutto ciò, se ho un numero naturale $n$ che inizia per $10...$ oppure per $9...$ allora le prime cifre delle sue potenze assumono (in ordine crescente o decrescente, come prima) tutti i valori da $1$ a $9$.
Basta ora dimostrare che, per ogni naturale $n$, esiste una sua potenza $x = n^k$ che inizia per $10...$ o per $9...$.
Per farlo basta considerare le prime 100 potenze di $n$, e le coppie di cifre con cui iniziano tali potenze (se la potenza ha una sola cifra, per esempio $9$, si considera la coppia $(0,9)$).
Se tra queste coppie ci fosse la coppia $(1,0)$, potremmo concludere con la tesi: supponiamo che tale coppia non compaia.
Le varie coppie possono essere solo di 100 tipi diversi, escludendone una sono 99. Per il principio dei cassetti ce ne sono due uguali: significa che abbiamo trovato 2 potenze che iniziano con le stesse due cifre. Non è difficile vedere che il rapporto tra queste due potenze (che è ancora una potenza) inizia per $9...$ o per $10....$.
So di aver tralasciato molti dettagli, però spero che venga colta l'idea generale.
E' interessante notare come questo procedimento funzioni (con qualche modifica) anche per dimostrare il seguente fatto più "potente":
Dato un numero intero positivo $n$ che non sia potenza di $10$, e una stringa $S$ di cifre decimali, esiste una potenza di $n$ che inizia per $S$.
Visto che è passato un po' di tempo, metto i passaggi della soluzione che avevo pensato io:
Se ho un numero razionale $1 < x < 11/10$, allora la prima cifra di $x^{k+1}$ è uguale a quella di $x^k$, oppure è uguale a quella di $x^k + 1$.
Ci si convince di questo perché la differenza $x^{k+1}-x^k = x^k\cdot(x-1)$ è minore di $x^k/10$, e aggiungendo ad un numero una quantità minore di un decimo del numero stesso, è impossibile aumentare di più di $1$ la prima cifra.
Però si vede abbastanza facilmente che la prima cifra di $x^k$, con $k$ che varia tra i numeri naturali, non raggiunge mai un valore e rimane poi fisso su quello, quindi assumerà uno dopo l'altro tutti i valori tra $1$ e $9$ (senza saltarne nessuno!)
Similmente se ho un numero razionale $1 < x < 11/10$, allora le prime cifre delle potenze di $x$ assumono (questa volta in ordine decrescente) tutti i valori da $1$ a $9$.
Come conseguenza di tutto ciò, se ho un numero naturale $n$ che inizia per $10...$ oppure per $9...$ allora le prime cifre delle sue potenze assumono (in ordine crescente o decrescente, come prima) tutti i valori da $1$ a $9$.
Basta ora dimostrare che, per ogni naturale $n$, esiste una sua potenza $x = n^k$ che inizia per $10...$ o per $9...$.
Per farlo basta considerare le prime 100 potenze di $n$, e le coppie di cifre con cui iniziano tali potenze (se la potenza ha una sola cifra, per esempio $9$, si considera la coppia $(0,9)$).
Se tra queste coppie ci fosse la coppia $(1,0)$, potremmo concludere con la tesi: supponiamo che tale coppia non compaia.
Le varie coppie possono essere solo di 100 tipi diversi, escludendone una sono 99. Per il principio dei cassetti ce ne sono due uguali: significa che abbiamo trovato 2 potenze che iniziano con le stesse due cifre. Non è difficile vedere che il rapporto tra queste due potenze (che è ancora una potenza) inizia per $9...$ o per $10....$.
So di aver tralasciato molti dettagli, però spero che venga colta l'idea generale.
E' interessante notare come questo procedimento funzioni (con qualche modifica) anche per dimostrare il seguente fatto più "potente":
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