$lcm$ e $gcd$

[Pachisi]

Siano $m$ e $n$ interi positivi tali che $lcm(m,n)+gcd(m,n)=m+n$. Dimostrare che $n$ divide $m$ o viceversa.

[Sk_Anonymous]

Dividendo tutto per il mcd(m,n)=d, si ha

m' n' + 1 = m' + n' , dove m=d m' ed n= d n'.

Scrivendo quesst'ultima nella forma seguente:

m'(n'-1)=n'-1,

si ricava che le soluzioni sono n'=1 ed m' qualunque o n'=1 ed m' qualunque. Questo signifia proprio che o m = n m' o n = m n'.

[orsoulx]

La dimostrazione è immediata ricordando che è sempre $ lcm(m,n) \cdot gcd(m,n)=m \cdot n $.

[Pachisi]

Si, esatto. Anch'io ho fatto così.
C'è anche un'altra soluzione, secondo me più bella. Metto un hint in spoiler:

somma e prodotto di radici di un'equazione di 2 grado.

[Pachisi]

Posto l'altra soluzione (non mia) di cui parlavo:

Visto che $m,n$ devono soddisfare $lcm(m,n)+gcd(m,n)=m+n$, e visto che vale sempre $lcm(m,n) \cdot gcd(m,n)=m \cdot n$, le soluzioni di $x^2-(m+n)x+mn=0$ sono $x=m, n$, ma anche $x=lcm(m,n), gcd(m,n)$. Dunque, $m=lcm(m,n)$ e $n=gcd(m,n)$ o viceversa. Dunque $n$ divide $m$ o viceversa.

[orsoulx]

Vista! Questa volta non concordo con il tuo giudizio. Mi pare un giro vizioso: se in sistema di secondo grado ho due coppie di soluzioni banalmente evidenti, perché devo andare a zonzo?
Ciao
B.