L'automobile e i numeri interi

[wall98]

Un problema recente direttamente da cesenatico,che va piu che altro capito.

Un modellino di automobile viene testato su alcuni circuiti chiusi lunghi 600 metri, composti da tratti piani e
tratti in salita o discesa. Tutti i tratti in salita e in discesa hanno la stessa pendenza. I test mettono in risalto
alcuni fatti curiosi:
(a) la velocita del modellino dipende solo dal fatto che la macchina stia percorrendo un tratto di salita, piano
o discesa; chiamando rispettivamente vs, vp e vd queste tre velocita, si ha vs < vp < vd;
(b) vs, vp e vd, espresse in metri al secondo, sono dei numeri interi;
(c) comunque sia composto il circuito (con piu o meno salite e discese) il tempo di percorrenza è sempre di
50 secondi.
Trovare tutti i possibili valori di vs, vp e vd.

[Luca9712]

Provo[ot]Abbiamo 4 opzioni possibili di combinazioni di velocità,
ovvero
$v_s, v_p , v_d$ $=$
1. $10,12,15$
2. $9,12,18$
3. $8,12,24$
4. $7,12,42$

Se fosse un circuito soltanto piano di 600 metri, dato il vincolo $c$
si ha $50= 600/v_p$ e quindi $v_p= 600/50=12$.

Se fosse un circuito di 600 metri con salita $s$, discesa $d$ e piano $p$, si ha $s+d+p=600$. Ma salita e discesa sono le due facce di una stessa medaglia, per cui $s=d$.
Quindi $p=600-s-d$ o in modo equivalente $p=600-2d$ o ancora $p=600-2s$.

Il tempo di percorrenza convoglia in $s/v_s+ d/v_d + p/v_p$
ovvero $s/v_s + (600-2s)/12+s/v_d$ essendo $s=d$.
da cui $s(1/v_s + 1/v_d - 1/6)+600/12$,
ovviamente se $s(1/v_s + 1/v_d - 1/6)=0$ allora $s/v_s=50$.

Inoltre, visto che $1/v_s + 1/v_d =1/6$, $(v_s,v_d)!=0$.
Si può riscrivere l'equazione come $(v_s-6)(v_d - 6)= 36$.
$v_d$ è un intero maggiore di $12=v_p$, pertanto $v_d-6$ è uno tra
$(9,12,18,36)$ essendo un divisore maggiore (ma non uguale) di $6$.
Ma $(9,12,18,36)$ sono i valori $15,18,24,42$ di $v_d$.
Andando a risolvere lìequazione per $v_s$ abbiamo risolto ottenendo
$v_s=6+36/(v_d-6)$
$v_s=10,9,8,7$[/ot]

[wall98]

Molto bene
anche se c'è qualche passaggio che non ho ben capito (un mio problema) la dimostrazione fila liscio e soprattuto porta ai giusti risultati.
un altra soluzione (molto simile) potrebbe essere questa...

la velocita in piano equivale a \(\displaystyle \frac{600}{50}=12 \) ed essa è anche la velocita media,infatti si evince dalle ipotesi che aggiungendo o togliendo salite e discese,il tempo di percorrenza (e quindi la velocita media) non cambia,e con 0 salite essa equivale appunto a \(\displaystyle v_p \)
ora (da fisica) ricordando che la media armonica delle velocita corrisponde alla velocita media impostiamo l'equazione \(\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{v_d} + \frac{1}{v_s} + \frac{1}{12}}=12 \Longrightarrow\ v_d=6+ \frac{36}{v_s-6} \) che è facile da risolvere,perche il denominatore deve dividere 36 sotto il vincolo \(\displaystyle v_d>v_s \).

[Luca9712]

Sei molto bravo!

[wall98]

Anche tu

[milizia96]

[ot]Che nervi questo problema in gara!!
E' stato di gran lunga quello per cui ci ho messo più tempo (tra quelli che ho risolto).[/ot]

[xXStephXx]

Per me è stato destabilizzante Come del resto anche gli altri problemi quel giorno!

[Luca9712]

"xXStephXx":Per me è stato destabilizzante Come del resto anche gli altri problemi quel giorno!

"milizia96":[ot]Che nervi questo problema in gara!!
E' stato di gran lunga quello per cui ci ho messo più tempo (tra quelli che ho risolto).[/ot]

Ma dove li danno? Si vince qualcosa?

[wall98]

questo viene dalla finale nazionale delle olimpiadi di matematica a cesenatico di quest'anno,era il problema 1 su 6,e cio dovrebbe auspicare una certa facilita, eppure moltissima gente c'è crollata perche effettivamente ci sono vari modi per risolverlo,alcuni dei quali terribilmente contosi, tipo uno con le medie pesate ecc.
comunque è possibile vincere un premio in denaro,mi pare 700 euro per i bronzi e qualcosa in piu per le altre medaglie

[Luca9712]

grazie wall