La somma dei primi n quadrati...

[ivan_franjic]

Provocazione: la somma dei primi n quadrati è un quadrato se e solo n è 0,1 o 24.

[kobeilprofeta]

vero

con 24 c'è $70^2$
con 1 c'è $1^2$

lo zero non lo conto perchè se no dovrei traslare tutto e sarebbe un casino (cioè i primi n numeri sarebbero da 0 a n-1 etc...)

[dan952]

Kobe credo che con "se e solo se" l'autore voglia provocarci chiedendo di dimostrare che le soluzioni sono solo quelle e non che funzionano

[kobeilprofeta]

vero dan

peró io con "vero" intendevo che vale il se e solo se

[Erasmus_First]

"kobeilprofeta":lo zero non lo conto perchè se no dovrei traslare tutto e sarebbe un casino (cioè i primi n numeri sarebbero da 0 a n-1 etc...)

Qui n non significa il numero di addendi bensì la massima base delle somma dei quadrati per base intera crescente. per cui è lo stesso pensare ad n addendi k^2 per 1≤ k ≤ n oppure (n+1) addendi per 0 ≤ 1 ≤ n.
Questa somma, – diciamola $S(n)$ – vale
$S(n) = (n(n+1)(2n+1))/6$.
Si tratta dunque di provare che
$sqrt((n(n+1)(2n+1))/6)$
non è mai intero per n di verso da 0, 1 e 24 (in particolare che non è mai intero per n > 24).
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La dimostrazione non la so fare.
Ho però trovato che
• se n è pari deve essere un multiplo di 24, (diciamo n = 24q con q intero):
• se n è dispari deve essere una unità maggiore di un multiplo di 24 (diciamo n = 24q + 1 con q intero).
Ovviamente ... va bene n pari per q = 0 e q = 1 (cioè n =0 oppure n = 24) e n dispari con q = 0 (cioè n = 1).
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[dan952]

Si può provare a trovare le soluzioni intere della curva $6y^2=x(x+1)(2x+1)$ in mod $p$, $p^2$ e così via... Con $p>3$ primo.

[kobeilprofeta]

@dan
[ot]sei in ritardo per la partita... guarda i MP[/ot]

[Thomas16]

mmm... se conoscete una soluzione scrivetela

Io mi ero convinto che le Pell sarebbero state utili per risolverlo (e quindi congetturavo le soluzioni fossero infinite... ) e stavo cercando di ripassarle non ricordandomi granchè...

Il problema è intrigante cmq

[dan952]

@kobe
Scusa alle 15:30 c'ero ma non mi diceva che era arrivato un messaggio

@Thomas
Un pò di teoria sulle curve ellittiche e lo risolvi facilmente credo...

[Thomas16]

Mmm... se qualcuno ha una soluzione la può postare?

Io ho provato a ripassare le Pell e vedo qualche collegamento con questo risultato:

http://ac.els-cdn.com/S0022314X06002952 ... 42c5b5af4c

, ma mi pare troppo per il forum (e per me)... dove è stato trovato il problema?

[Thomas16]

Ok questo problema ha anche un nome: the "cannonball problem" . Chi vuole può googlare, ma non mi sembra molto da questa sezione in realtà, forse da "Pensiamo un po' di piu" ...

[giulylanza06]

La somma dei primi n quadrati è anche definibile come numero piramidale quadrato ovvero la piramide che ha per base un quadrato di lato n e procede verso l'alto con n-1, poi n-2...
Si può fare un tentativo associando il volume di questa piramide alla formula? Ho provato ma non sono arrivata a niente di produttivo, ma volevo comunque esporre il mio ragionamento

[Erasmus_First]

"gl630":La somma dei primi n quadrati è anche definibile come numero piramidale quadrato ovvero la piramide che ha per base un quadrato di lato n e procede verso l'alto con n-1, poi n-2...
Si può fare un tentativo associando il volume di questa piramide alla formula? Ho provato ma non sono arrivata a niente di produttivo, ma volevo comunque esporre il mio ragionamento

Se ogni strato lo consideri un numero quadrato di elementi ciascuno di volume V – per esempio: se il lato del k-esimo starto è $k$ consideri lo strato parallelepipedo quadrato di altezza 1, equivalente a $k^2$ cubetti ciascuno di volume V = 1], il volume della tua piramide è comunque:
$(n(n+1)(2n+1))/6V$.
Una piramide a base quadrata di lato $n$ ed altezza ancora $n$ ha volume $n^3/3$ ... ma ha le facce triangolari "liscie". Ed il volume è un numero intero solo se $n$ è divisibile per 3.
Le facce laterali della tua "piramide" sono invece ... 4 scalinate!
Ogni strato sporge un tantino dalla detta piramide a facce laterali liscie. Ed il volume è giustamente un po' di più.
$(n(n+1)(2n+1))/6 - n^3/3 = (n(3n+1))/6$.
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