La ragione matematica del 13 portafortuna

[Sk_Anonymous]

A bus ticket is considered to be lucky if the sum of the first three
digits equals to the sum of the last three (6 digits in Russian buses).
Prove that the sum of all the lucky numbers is divisible by 13.

[Pachisi]

Ci provo

I lucky numbers possono avere la forma $abcabc$, $abcdef$ o $defabc$ con $a+b+c=d+e+f$. Sappiamo che $abcabc=1001\cdot abc=13\cdot77\cdotabc$. Quindi, la somma di tutti i numeri della forma $abcabc$ è un multiplo di $13$. Ora, sommiamo i numeri della forma $abcdef$ e $defabc$ "a coppie". Visto che $a+b+c=d+e+f$, la somma di una coppia sarà pari a $1001\cdot(abc+def)$, che e` un multiplo di $13$. Allora, la somma di tutti i lucky numbers sarà un multiplo di $13$.

[Sk_Anonymous]

Nulla da aggiungere, né da togliere .


PS
Solo per osservare che quando ci sono di mezzo raggruppamenti delle cifre dei numeri a tre a tre, un'occhiata al 1001 conviene sempre darla.

[Erasmus_First]

Non ho capito percé tirare in ballo 1001.
In questo quiz che conta è il fatto che $111111=3·7·11·13·37$ è un multiplo di $13$.
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Dette $a, b, c, d$ ed $f$ le cifre d'un numero a 6 cifre, se $a+b+c = d +e +f$,
[ossia se $f = a + b + c - d - e$],
il numero vale:
$a·10^5 + b·10^4 + c·10^3 + d·10^2 + e·10 + (a+b+c - d - e)$.
Nei numeri di questo tipo, ogni cifra, tranne l'ultima $f$, può ben variare indipendentemente una dall'altra in tutti i modi possibili, cioè da 0 a 9; e quindi, detta $S$ la somma degli interi da 0 a 9 inclusi, la somma di tutti numeri di questo tipo vale
$S·10^5 + S·10^4 + S·10^3 + S·10^2 + S·10 + (s + s + S – S – S) = S·111111= S·8547·13.

_______

[axpgn]

Scusami Erasmus ma non è vero che possono variare tutte indipendentemente le une dalle altre, ti manca un vincolo cioè $f<10$ ...

[Erasmus_First]

"axpgn":Scusami Erasmus ma non è vero che possono variare tutte indipendentemente le une dalle altre, ti manca un vincolo cioè $f<10$ ...

Hai ragione... quasi!
["Quasi" perché dev'essere pure $f≥0$, cioè $0 ≤ a + b + c - e - d < 10$. ]

Si vede che il problema è meno semplice di quel che credevo!
Supposto di provare tutti i singoli numeri per i quali $f = a + b + c - e - d$, bisognerebbe scartare quelli in cui risulta $f$ negativo o $f$ maggiore di 9, e vedere se ancora resta costante la somma delle cifre di posto k al variare di k tra 1 e 6.

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[axpgn]

Restando in tema (più o meno ...), un altro thread mi ha fatto tornare in mente un test per la divisibilità per $7$, $11$ e $13$ ("tutti insieme appassionatamente"® ... )

Suddividere il numero da verificare in gruppi di tre cifre partendo da destra, sommare i gruppi di posto dispari, poi sommare quelli di posto pari e sottrarre la somma dall'altra; se il risultato è divisibile per $7$ o per $11$ o per $13$ anche il numero originario lo è.

Perché funziona?

Cordialmente, Alex

[Sk_Anonymous]

Svolgo il ragionamento per il caso di 4 triplette, ma credo non sia difficile generalizzare.
Sia $T_3T_2T_1T_0$ il numero dato diviso in triplette.
Questo si può scrivere nella forma:

$T_3(10^9+1)-T_3+T_2(10^6-1)+T_2+T_1(10^3+1)-T_1+T_0$.

Da cui essendo tutti i numeri tra “()” multipli di 1001, si ricava che se
$-T_3+T_2-T_1+T_0$ è multiplo di uno dei divisori di 1001 anche il numero $T_3T_2T_1T_0$ lo è.

Forse si può fare ancora più sinteticamente ragionando in base 1000.
La regola proposta corrisponde a quella della divisibilità per 11 in base 10. Ma la struttura della prova non cambia se si “legge” il mumero “11” come 1*10+1 oppure come 1*10^3+1.

[orsoulx]

Per una sintesi finale, sottolineo che il 13 è spesso ritenuto un numero 'sfortunato'. In effetti se la somma dei numeri di serie dei biglietti 'fortunati' è multipla di 13, ed altrettanto succede per tutti i biglietti, è immediato dedurre che anche la somma dei 'diversamente fortunati' goda della medesima proprietà.