Irrazionali

[axpgn]

Dimostrare, tramite un semplice esempio, che un numero irrazionale elevato ad un numero irrazionale non necessariamente dà come risultato sempre un numero irrazionale.

[ot]Cosa è semplice lo decido io (così mi porto avanti col lavoro )[/ot]

Cordialmente, Alex

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

$e^(i pi)=-1$, ma c'è un esempio che preferisco.

Sia $a=sqrt(2)$. Se $b=a^a$ è razionale allora è un esempio. Se invece è irrazionale allora $b^a=2$ è un esempio.

[axpgn]

È lo stesso che ho pensato io

Però Martino ...

... non sei più uno studente delle Superiori
Dovresti lasciare più tempo a questa folla di ragazzi che vorrebbe rispondere

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Confesso di non condividere il primo esempio di Martino.

Scrive $e^(i pi)=-1$, ma $i pi$ è un complesso, non un irrazionale.

Il secondo esempio va bene, ma mi ha dato un po' di filo da torcere: sarebbe stato meglio indicare i calcoli.

[axpgn]

Sì, meglio dettagliare

Siano $a=sqrt(2)$ e $b=a^a=sqrt(2)^sqrt(2)$

Possiamo avere due casi:

- $b$ è razionale ed allora abbiamo finito.

- $b$ è irrazionale e allora poniamo $c=b^a$ da cui $c=(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2)=sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2))=sqrt(2)^2=2$
Fatto.

Cordialmente, Alex

[andreamasi1]

bello!!

[Erasmus_First]

Sia $x$ un numero irrazionale. Allora anche $1/x$ è irrazionale; e, posto $b = 3^(1/x)$, anche $b$ è irrazionale.
Infine: $b^x = (3^(1/x))^x = 3$.

[Gi81]

"Erasmus_First":Sia $x$ un numero irrazionale. Allora anche $1/x$ è irrazionale; e, posto $b = 3^(1/x)$, anche $b$ è irrazionale.

In generale questo non è vero.
Prendiamo $x:=1/(log_3 (2))$, che è irrazionale (vale circa $1.5849625...$).
Si ha $1/x = log_3(2)$, e $b:= 3^(1/x) = 3^(log_3(2))=2 in QQ$.