Iperbole equilatera
Quanti sono i punti aventi coordinate intere appartenenti all'iperbole di equazione x^2-y^2=2000^2? Il risultato dovrebbe essere 98, sapreste dirmi la risoluzione?
Risposte
Scompongo $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, a questo punto impongo che $x-y=p$ e $x+y=q$ dove $p,q$ interi tali $pq=2000^2$, dunque determinare il numero di punti interi equivale a determinare il numero di sistemi lineari
${(x-y=p),(x+y=q):}$
che ammettono come soluzione una coppia di interi se e solo se $p$ e $q$ sono entrambi pari o entrambi dispari. Poiché $2000^2=2^8 \cdot 5^6$, deduciamo che ha 63 divisori e che non può accadere che p e q sono entrambi dispari, quindi i sistemi ammettono soluzioni intere solo quando sono entrambi pari, dunque bisogna scartare tutti i p o q che sono potenze di 5, ovvero 7×2=14 sistemi in totale, quindi ne rimangono 63-14=49. Vanno bene anche sistemi in cui sia p che q sono negativi e quindi 2×49=98.
${(x-y=p),(x+y=q):}$
che ammettono come soluzione una coppia di interi se e solo se $p$ e $q$ sono entrambi pari o entrambi dispari. Poiché $2000^2=2^8 \cdot 5^6$, deduciamo che ha 63 divisori e che non può accadere che p e q sono entrambi dispari, quindi i sistemi ammettono soluzioni intere solo quando sono entrambi pari, dunque bisogna scartare tutti i p o q che sono potenze di 5, ovvero 7×2=14 sistemi in totale, quindi ne rimangono 63-14=49. Vanno bene anche sistemi in cui sia p che q sono negativi e quindi 2×49=98.
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