Integrale da 0 a x di $t^2sqrt(t^2+1)$ in $dt$

[Erasmus_First]

Calcolare $f(x) = ∫_0^x t^2sqrt(t^2+1)dt$
_______

[xAle2]

Ciao Erasmus,
sarei curioso di sapere, prima di postare la mia risoluzione, se esiste un metodo "elegante" per risolvere questo integrale. Te lo chiedo perchè la mia soluzione è molto standard e anche un po' laboriosa e prima di riportarla vorrei essere sicuro di non poter arrivare a qualcosa di meglio.

Saluti,
Alessio

[Erasmus_First]

"xAle":Ciao Erasmus,
sarei curioso di sapere, prima di postare la mia risoluzione, se esiste un metodo "elegante" per risolvere questo integrale. Te lo chiedo perchè la mia soluzione è molto standard e anche un po' laboriosa e prima di riportarla vorrei essere sicuro di non poter arrivare a qualcosa di meglio.

Non so cosa intendi con "elegante" e con "standard".
Io ho usato la sostituzione $t=sinh(φ)$. Elimino dapprima le potenze passando da $φ$ a $2φ$ e poi a $4φ$ (così l'integrale viene facile). Poi torno a φ per rimettere $sinh(φ)= t$ e $cosh(φ)=sqrt(t^2 +1)$.

_______

[xAle2]

Ciao Erasmus,
le nostre soluzioni sono uguali. Colgo l'occasione per spiegare cosa intendo per soluzione "elegante" e "standard".

In questo integrale o in altri molto simili la sostituzione trigonometrica è quasi obbligata ed è quella che viene anche più facile poichè permette di risolvere, a patto di conoscere bene proprietà e identità trigonometriche iperboliche e non, una grande classe di integrali molto ostici. Visto che avevi inserito questo integrale non nella sezione "Analisi Matematica" pensavo si dovesse/potesse arrivare ad una soluzione più "elegante", nel senso di applicare delle sostituzioni non ovvie per semplificare enormemente il problema. Ti invito a provare a risolvere $int dx/(x^4+1)$. Penso che questo integrale racchiuda bene il concetto che voglio esprimere.

Saluti,
Alessio

[Erasmus_First]

"xAle":[...]$int dx/(x^4+1)$. Penso che questo integrale racchiuda bene il concetto che voglio esprimere.

a) Nella ricerca di una primitiva di $t^2sqrt(t^2+1)$ si può usare anche la sostituzione $t=tan(φ)$ con la quale la primitiva da cercare è quella di $sin^2(φ)/cos^5(φ)$ ... che io non so trovare!
[E il perché sta nel fatto che se uso le formule di multiplazione per abbassare il grado delle potenze mi trovo una somma al denominatore ... e non so come procedere se non con la ulteriore sostituzione $s = sinφ$ per arrivare ad una frazione nella indeterminata $s$. Troppo incasinata!].
Invece con la sostituzione $t=sinh(φ)$ si ha subito:
$t^2sqrt(t^2+1) dt = sinh^2(φ)d/(dφ)sinh(φ) dφ = [sinh(φ)·cosh(φ)]^2 dφ$.
E siccome le potenze mi vengono al numeratore trovo conveniente l'impiego delle formule di multiplazione.
Divido e moltiplicio per 4 ottenendo:
$[sinh(φ)·cosh(φ)]^2 = 1/4[2sinh(φ)cosh(φ)]^2 = 1/4sinh^2(2φ) = 1/8[cosh(4φ)-1]$
la cui primitiva
$1/32sinh(4φ)-φ/8$
è immediata.
Siccome $cosh(φ)+sinh(φ) = e^φ$, viene $φ =ln[sinh(φ)+cosh(φ)] = ln(t+sqrt(t^2+1)$.
Adesso mi basta sviluppare $sinh(4φ)$ in una espressione di $sinh(φ)$ e $cosh(φ)$ da sostiuire poi rispettivamente con $t$ e $sqrt(t^2+1)$.
$1/32sinh(4φ)-1/8 φ = 1/16 sinh(2φ)·cosh(2φ)-1/8 φ =$
$=1/8sinh(φ)·cosh(φ)·[2cosh^2(φ)-1]-1/8 φ =$
$=1/4sinh(φ)·cosh^3(φ)-1/8sinh(φ)·cosh(φ)·-1/8 φ =$
$=1/4 tsqrt(t^2+1)(t^2+1) - 1/8tsqrt(t^2+1) - 1/8 ln(t+sqrt(t^2+1))=$
$=1/8[(2t^3+t)sqrt(t^2+1)-ln(t+sqrt(t^2+1)]$.

b) Non capisco il nesso tra l'attuale thread e $∫(dx)/(x^4+1)$. Comunque;
$x^4+ 1 = (x^2 + sqrt2x + 1)(x^2 - sqrt2x + 1) ⇒ $
$ ⇒ 1/(x^4+1) = (Ax+B)/(x^2+sqrt2x+1) - (Cx-D)/(x^2-sqrt2x+1) ⇒ $
$⇒ 1/(x^4+1) = 1/4[(sqrt2x+2)/(x^2+sqrt2x+1) - (sqrt2x-2)/(x^2-sqrt2x+1)] =$
$= sqrt2/8[(2x+sqrt2 +sqrt2)/(x^2+sqrt2x+1) - (2x-sqrt2-sqrt2)/(x^2-sqrt2x+1)]=$
$= sqrt2/8[(2x+sqrt2)/(x^2+sqrt2x+1) - (2x-sqrt2)/(x^2-sqrt2x+1)]+1/4[1/(x^2+sqrt2x+1) +1/(x^2-sqrt2x+1)] =$
$= sqrt2/8d/(dx)ln((x^2+sqrt2x +1)/(x^2-sqrt2x +1)) +sqrt2/4 d/(dx)arctan(sqrt2x+1)-sqrt2/4 d/(dx)arctan(sqrt2x-1)$.
$∫(dx)/(x^4+1) = sqrt2/8ln((x^2+sqrt2x +1)/(x^2-sqrt2x +1))+sqrt2/4[arctan(sqrt2x+1)-arctan(sqrt2x-1)] +k$.

_______

[xAle2]

Indubbiamente la sostituzione iperbolica è la migliore. L'integrale che ti ho lasciato non c'entra con il quesito da te postato bensì con il mio tentativo di spiegarti cosa intendo per risoluzione "standard" e "elegante". Hai risolto l'integrale applicando passo passo le regole di integrazione per funzioni razionali fratte. Il procedimento è un po' laborioso ma se si fa attenzione, specialmente alle costanti, alla fine si arriva alla soluzione. Voglio ora però mostrarti un altro procedimento che sfrutta soltanto una sostituzione.

$ 1/(x^4+1)=1/2((x^2+1)/(x^4+1)-(x^2-1)/(x^4+1)) rArr (((x^2+1)/x^2)/((x^4+1)/x^2)-((x^2-1)/x^2)/((x^4+1)/x^2))$
Andiamo quindi ad integrare $1/2int(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx-1/2int(1-1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx$
Qui viene il bello, sia $t=x-1/x rArr dt=(1+1/x^2)dx$ e $u=x+1/2 rArr du=(1-1/x^2)dx$
Inoltre dalle nostre sostituzioni sappiamo che $t^2=x^2-2+1/x^2 rArr x^2+1/x^2=t^2+2$ e $u^2=x^2+2+1/x^2 rArr x^2+1/x^2=u^2-2$
Il nostro integrale è dunque diventato $1/2int(dt)/(t^2+2)-1/2int(du)/(u^2-2)$ semplificandosi notevolmente, la primitiva del primo pezzo è un arcotangente mentre quella del secondo pezzo è un arcotangente iperbolica.

Edit: Piccole correzioni