Insiemi convessi
Data la definizione di insieme convesso non riesco ad applicarla per dimostrare che un quadrato è un insieme convesso. Inoltre come poter dimostrare che un insieme unione di due insiemi convessi non è convesso? Oltre a trovare un controesempio, avendo presente la figura, esiste un metodo più rigoroso?
Un insieme si dice convesso se dati due punti X(x,y) e (x',y') il punto (tx+(1-t)x',ty+(1-t)y') appartiene all' insieme stesso.
Dimostrare che il semipiano π = x + y − 1 ≤ 0 verifica la definizione di insieme convesso.
b) Dimostrare che il quadrato A di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) verifica la definizione di insieme convesso.
c) L'insieme π∪A è convesso? Giustificare opportunamente la risposta.
Un insieme si dice convesso se dati due punti X(x,y) e (x',y') il punto (tx+(1-t)x',ty+(1-t)y') appartiene all' insieme stesso.
Dimostrare che il semipiano π = x + y − 1 ≤ 0 verifica la definizione di insieme convesso.
b) Dimostrare che il quadrato A di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) verifica la definizione di insieme convesso.
c) L'insieme π∪A è convesso? Giustificare opportunamente la risposta.
Risposte
Hai già postato in quell'altra sezione (tra l'altro ti ho già risposto), non si può postare in più sezioni, ti invito ad una lettura del regolamento, è molto importante https://www.matematicamente.it/forum/reg ... 26457.html
La sezione adatta è analisi di base in matematica per l'università
Detto questo, vediamo di svolgere il punto a) e b), riscrivi la definizione di insieme convesso:
Definizione. Un insieme $A \sube \mathbb{R}^2$ si dice convesso se $\forall (x,y), (x',y') \in A$ e $\forall t \in [0,1]$ risulta che $(tx+(1-t)x',ty+(1-t)y') \in A$.
a) Dobbiamo far vedere che dati $(x,y),(x',y') \in \pi$ il punto $(tx+(1-t)x',ty+(1-t)y')$ con $t \in [0,1]$ verifica
\begin{equation}
tx+(1-t)x'+ty+(1-t)y'-1 \leq 0
\end{equation}
ovvero la condizione di appartenenza al semipiano $\pi$, dunque poiché $(x,y),(x',y') \in \pi$ risulta che $x+y \leq 1$ e $x'+y' \leq 1$, quindi
\begin{equation}
tx+(1-t)x'+ty+(1-t)y'=t(x+y)+(1-t)(x'+y') \leq t+1-t=1
\end{equation}
come volevasi dimostrare
b) Ricorda che il quadrato con quei vertici è definito dalla disequazione $|x+y-1|+|x-y| \leq 1$, quindi...
Detto questo, vediamo di svolgere il punto a) e b), riscrivi la definizione di insieme convesso:
Definizione. Un insieme $A \sube \mathbb{R}^2$ si dice convesso se $\forall (x,y), (x',y') \in A$ e $\forall t \in [0,1]$ risulta che $(tx+(1-t)x',ty+(1-t)y') \in A$.
a) Dobbiamo far vedere che dati $(x,y),(x',y') \in \pi$ il punto $(tx+(1-t)x',ty+(1-t)y')$ con $t \in [0,1]$ verifica
\begin{equation}
tx+(1-t)x'+ty+(1-t)y'-1 \leq 0
\end{equation}
ovvero la condizione di appartenenza al semipiano $\pi$, dunque poiché $(x,y),(x',y') \in \pi$ risulta che $x+y \leq 1$ e $x'+y' \leq 1$, quindi
\begin{equation}
tx+(1-t)x'+ty+(1-t)y'=t(x+y)+(1-t)(x'+y') \leq t+1-t=1
\end{equation}
come volevasi dimostrare
b) Ricorda che il quadrato con quei vertici è definito dalla disequazione $|x+y-1|+|x-y| \leq 1$, quindi...
"otta96":
Hai già postato in quell'altra sezione (tra l'altro ti ho già risposto), non si può postare in più sezioni, ti invito ad una lettura del regolamento, è molto importante https://www.matematicamente.it/forum/reg ... 26457.html
Hai ragione, l'ho appena letto e farò attenzione a seguire tutte le regole perché il forum funzioni al meglio.
Grazie a entrambi per le risposte chiare e puntuali
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