Inscrittibilità di un quadrilatero

[Zero87]

Idea presa da qui
viewtopic.php?f=11&t=117692
c'è anche la "mia" soluzione (che non so se è giusta), quindi per chi vuole provarci si prega di non andare a sbirciare se vuole spremere le meningi.

Comunque il problema è semplice: dimostrare che un quadrilatero con le diagonali perpendicolari a due dei suoi lati è incrittibile in una circonferenza.

Mi sembra una questione interessante anche perché è diversa dalla caratterizzazione "ufficiale" di inscrittibilità di un quadrilatero.

[Luca9712]

Ho visto la tua dimostrazione, lo trovo ok... però a questo punto sono squalificato

[Zero87]

"Luca97":Ho visto la tua dimostrazione, lo trovo ok... però a questo punto sono squalificato

Puoi trovarne un'altra. La mia è piuttosto grezza e non mi stupirei se ce ne fosse qualcun'altra più scorrevole o più tecnica o più artistica o più... che ne so!

[Luca9712]

[ot]Mmm... non so se riesco a concentrarmi. Rigel mi ha fatto nascere l'amore per questo viewtopic.php?f=3&t=117263&p=768812&hilit=beal#p768812 . Venalmente disinteressato [/ot]

[Andrea571]

Provo

Prendiamo un quadrilatero $ABCD$, o meglio un trapezio (base maggiore $\bar{AB}$, che poi sarebbe il diametro della circonferenza), in modo che la diagonale $\bar{DB}$ sia perpendicolare ad $\bar{AD}$, e la diagonale $\bar{AC}$ sia perpendicolare a $\bar{CB}$



Prendiamo ora in considerazione i due triangoli $ADB$ ed $ACB$: come abbiamo gia detto, le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui, quindi $$A\hat DB$$ ed $$A\hat CB$$ sono angoli retti: essendo i triangoli rettangoli, entrambe avranno il centro della circonferenza circoscritta nel punto medio dell'ipotenusa, ed avendo l'ipotenusa $\bar{AB}$ in comune, entrambi i triangoli sono inscrivibili nella stessa circonferenza: uniamo $C$ con $D$ (qui c'è un teorema di cui non ricordo il nome, che dice che una corda è sempre più corta dell'arco che sottintende, quindi $\bar{CD}$ non interseca la circonferenza), e di conseguenza il quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza (che poi è la stessa che può essere circoscritta ai due triangoli rettangoli)

P.S.
Subito dopo aver finito, sono andato a leggere la sua dimostrazione...adesso penserà che gli ho copiato
Io ho semplicemente aggiunto che

$\bar{CD}$ non interseca la circonferenza per un teorema,

ma forse non ce ne era neanche il bisogno

[Luca9712]

Andrè te possino . La soluzione è ok ma hai dato una sbirciatina pure tu?

[Andrea571]

"Luca97":Andrè te possino . La soluzione è ok ma hai dato una sbirciatina pure tu?

Ho aggiornato il mio post, leggilo

No, non ho sbirciato niente

[Luca9712]

Si ho visto. Stavo infatti scrivendo "scusa ho visto solo ora il tuo post "

[Zero87]

Ho postato qui perché pensavo che non ci fosse solo la mia o che comunque la mia non fosse giusta... Vuol dire che devo ricredermi!

Buon fine settimana, forumisti.

[Luca9712]

"Zero87":

Buon fine settimana, forumisti.

Ricambio

[milizia96]

@Andrea57: E come fai a sapere che il quadrilatero in questione è proprio un trapezio?

Rilancio: in un quadrilatero ogni diagonale forma con uno dei lati un angolo non acuto. Dimostrare che se i due angoli così considerati sono congruenti, allora il quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza.

Comunque vi faccio presente che questi fatti sono classicissimi, e per esempio alle olimpiadi di matematica si danno praticamente per scontati...

[Andrea571]

"milizia96":@Andrea57: E come fai a sapere che il quadrilatero in questione è proprio un trapezio?

A prove Quando faccio esercizi di questo tipo, ho sempre carta e penna dietro: ho provato con un rettangolo, ma non poteva essere (la "diagonale perpendicolare" sarebbe stata un lato del rettangolo, ma non è possibile): mi serviva perciò un quadrilatero di cui uno dei due lati sia maggiore dell'altro (trapezio) e alla fine, sono riuscito a farmelo sul foglio e ho potuto continuare la dimostrazione

[milizia96]

Il fatto è che... non è vero che si tratta necessariamente di un trapezio.