Indentificare il luogo geometrico

[Spocky]

Salve a tutti!
Sono un nuovo membro del forum, spero quindi non sbagliare qualcosa

Nel piano xOy si consideri il luogo S rappresentato dall'equazione \(\displaystyle x^{2}+ky^{2}=\left(1+k\right)y+1 \) dove k è un parametro reale. Dire quali delle seguenti affermazioni risulta vera:
A) S non è una circonferenza per nessun valore di k
B) S è una parabola per ogni valore di k
C) S è un'iperbole per ogni valore di k
D) se S non è una parabola, allora è una circonferenza
E) esistono valori di k per i quali S è un'iperbole

La risposta giusta è la E, ma non riesco a capire il perchè....
Me lo potreste spiegare in un modo semplice? Grazie mille

[donald_zeka]

Per $k=1$ si ha:

$x^2+y^2-2y=1$

$x^2+(y-1)^2-1=1$

$x^2+(y-1)^2=2$, ossia una circonferenza.

Pertanto la $A$ è falsa.

La $B$ è chiaramente falsa data la $A$;

La $C$ è chiaramente falsa data la $A$;

Per $k=-1$ si ha:

$x^2-y^2=1$; ossia una iperbole:

La $E$ è pertanto vera e la $D$ è falsa per la $E$

[Spocky]

Grazie mille!

[Erasmus_First]

"Spocky":[...] luogo S rappresentato dall'equazione \(\displaystyle x^{2}+ky^{2}=\left(1+k\right)y+1 \) dove k è un parametro reale.

L'equazione generale di una conica (ossia di una curva ottenuta intersecando una superficie conica con un piano) è del tipo:
$a_(1 1)x^2 + 2a_(1 2)xy + a_(2 2)y^2+ 2a_(1 3) x + 2a_(2 3) y + a_(3 3) = 0$.
Questa si può pensare ottenuta dal prodotto scalare del vettotre v = [x, y, 1] con v' = v·M dove M è la matrice quadrata (di formato 3 x 3) simmetrica:
a_(1 1), a_(1 2), a(1 3)
a_(1 2), a_(2 2), a(2 3)
a_(1 3), a_(2 3), a(3 3)

Questa matrice ci dice di che tipo di conica si tratta.
Precisamente, [si dimostra ... – facilmente ma non brevemente – che]:
a) Se $det(M) = 0$ allora la conica è degenere.
[Il piano secante il cono passa per il suo vertice, La curva si scompone in due rette o si riduce ad un punto isolato].
Se invece $det(M) ≠ 0$ la conica è "propria" (vera curva: ellisse o iperbole o parabola).
b) Si consideri il cofattore di $a_(3 3)$, ossia $c_(3 3) = a_(1 1)·a_(2 2) - a_(1 2)^2$.
Se $c_(3 3) = 0$ la curva è una parabola.
Se $c_(3 3) > 0$ la curva è una ellisse (in particolare una circonferenza quando $a_(1 1) = a_(2 2)$).
Se $c_(3 3) < 0$ la curva è una iperbole.
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