[INdAM 15-16] Il tetraedro ABCD ha tutti i sei spigoli tangenti a una stessa sfera...

[georgian11]

Buonasera,
vi propongo questo problema tratto dalla prova dell INdAM dello scorso anno: https://www.altamatematica.it/sites/def ... m15-16.pdf (problema 3)

Il tetraedro ABCD ha tutti i sei spigoli tangenti a una stessa sfera.
Sappiamo che AB = 323, BC = 406, CA = 385, DA = 524. Qual e la misura di ` BD?

A. 528
B. 487
C. 545
D. 533
E. 503


EDIT: rimosso l'indicazione della risposta, magari qualcuno vuole provare a risolverlo da solo

[georgian11]

Applicando il fatto che "Un quadrilatero convesso è circoscrittibile ad un cerchio se e solo se la somma di due lati non consecutivi è uguale alla somma degli altri due lati." ad una sfera e agli spigoli opposti del tetraedro si ottiene 545 ovvero C. Ora sembra così facile che è quasi imbarazzante

[Erasmus_First]

"georgian1":

Applicando il fatto che "Un quadrilatero convesso è circoscrittibile ad un cerchio se e solo se la somma di due lati non consecutivi è uguale alla somma degli altri due lati." ad una sfera e agli spigoli opposti del tetraedro si ottiene 545 ovvero C. Ora sembra così facile che è quasi imbarazzante

???
Ma ... 'ndo sta il quadrilatero?
Gli spigoli opposti d'un tetraedro non sono complanari!

La sfera interseca ciascuna delle 4 facce del tetredro in un cerchio inscritto nel triangolo-faccia.
Siano a, b e c le lunghezze dei lati rispettivamente opposti ai vertici A, B e C di un gtriangolo.Siano L, M ed N i punti di contatto con il cerchio inscritto rispettivamente con i lati BC, CA e AB. Allora (come si trova facilmente), detto p il semiperimetro (a + b + c)/2, si ha:
• AM = AN = p – a = (–a + b + c)/2, [e diciamo x questa lunghezza];
• BN = BL = p – b = (a – b + c)/2, [e diciamo y questa lunghezza];
• CL = CM = p – c = (a + b - c)/2, [e diciamo z questa lunghezza].
Fatto questo per la faccia ABC del tetraedero, otteniamo
• p = 557
• x = p – a = 151;
• y = p – b = 172;
• z = p – c = 234.
Sia R il punto di contatto dello spigolo DA con la sfera. Allora abbiamo
• AR = x = 151;
• RD = DA - AR = 524 – 151 = 372, (e diciamo w questa lunghezza);
• DB = y + w = 172 + 372 = 544;
• DC = z + w = 234 + 372 = 606.

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[Erasmus_First]

@georgian1
Guarda che la lunghezza richiesta non è 545, bensì 544.
Ciao ciao.


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Edito ... per penitenza. (gio. 29.09.2016 h: 11:40 circa),
OOPS! Chiedo scusa a georgian1 !
Ho sbagliato io il conticino. E' giusto 545.
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Non conoscevo la regoletta pratica che per avere tutti i sei spigoli tangenti ad una sfera occorre e basta che il tetraedro abbia le coppie di spigoli opposti a somma uguale, cioè
AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Ho perciò considerato le distanze dei punti di tangenza dai vertici. Allora i 12 pezzi di spigolo, due per spigolo, prodotti dai 6 punti di tangenza sono di sole 4 lunghezze (che ho chiamato x, y, z e w).
Infatti, I tre spigoli che concorrono in uno stesso vertice toccano la sfera in rispettivi tre punti equidistanti da quel vertice.
Se in un triangolo di lati a, b e c considero i punti di tangenza col cerchio inscritto trovo, per esempio
$a = y + z$
$b = z + x$
$c = x + y$
per cui
$x + y + z = (a + b + c)/2
e quindi
$a = y + z = x + y + z - x = p – x$ ⇔ $x = p - a$;
$b = z + x = x + y + z - y = p – y$ ⇔ $y = p - b$;
$b = z + x = x + y + z - y = p – y$ ⇔ $y = p - b$;

Insomma ...ho fatto qualche calcoletto in più rispetto alla regoletta $BD = (BC + DA) - CA$.
Ed evidentemente ho sbagliato qualche operazione, chissà quale.

Ma poi, mettendo lettere al posto di numeri, ho visto che la regoletta della costanza della somma degli spigoli opposti è proproio la deduzione riassuntiva di quel procedimento.
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Domanda ... con risposta più difficilina:
«Quanto è lungo il raggio di quella sfera [che sporge da ogni faccia del tetraedro]»?
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A ri-ciao!