In quali modi si può scomporre?
Dato il polinomio $x^8 - 15x^4 + 25$, come si può scomporre? Io ho individuato solo un modo, ma in quali altri modi può essere possibile? Stessa domanda per il polinomio $x^6 - x^4 + 2 x^3 + 1$ e per il polinomio $x^8 + 64$.
Risposte
"Pianoth":
Dato il polinomio $x^8 - 15x^4 + 25$, come si può scomporre? Io ho individuato solo un modo, ma in quali altri modi può essere possibile?
Suppongo che il tuo modo sia $x^4 =t$ o una cosa simile: non me ne viene in mente un altro, al massimo puoi provare con ruffini, ma non credo che la situazione la migliori.
"Pianoth":
Stessa domanda per il polinomio $x^6 - x^4 + 2 x^3 + 1$
Se hai occhio (e fortuna!) puoi provare un raccoglimento, altrimenti il solito ruffini...
"Pianoth":
e per il polinomio $x^8 + 64$.
Se non hai fatto i numeri complessi la vedo dura (se li hai fatti puoi iniziare con $(x^4-8i)(x^4+8i)$ per poi iterare la procedura fino a che non arrivi al primo grado o all'esaurimento nervoso...)
In realtà no, nessuno si risolve in tali modi, il mio modo di risolvere il primo non è quello, né è Ruffini... Ho studiato i numeri complessi, anzi sono andato molto dopo di ciò in realtà 
Sono scomposizioni molto particolari che ho creato io, non sono su nessun libro di testo. Le soluzioni sono rispettivamente $(x^4+5x^2+5)(x^4-5x^2+5)$; $(x^3+x^2+1)(x^3-x^2+1)$; L'ultimo, $x^8+64$ è il più sorprendente: $(x^4+4x^2+8)(x^4-4x^2+8)$.
Per tutti e tre gli esercizi c'è un modo di risolvere molto inusuale, infatti questo tipo di polinomi non si incontrano praticamente mai... Non sono prodotti notevoli, non sono trinomi caratteristici, possono essere scomposti con Ruffini (ma solo trovando le radici dei rispettivi polinomi, il che non è per niente facile), e non possono nemmeno essere scomposti con raccoglimento.
Detto questo, come pensi che possano essere scomposti?
Sono scomposizioni molto particolari che ho creato io, non sono su nessun libro di testo. Le soluzioni sono rispettivamente $(x^4+5x^2+5)(x^4-5x^2+5)$; $(x^3+x^2+1)(x^3-x^2+1)$; L'ultimo, $x^8+64$ è il più sorprendente: $(x^4+4x^2+8)(x^4-4x^2+8)$.
Per tutti e tre gli esercizi c'è un modo di risolvere molto inusuale, infatti questo tipo di polinomi non si incontrano praticamente mai... Non sono prodotti notevoli, non sono trinomi caratteristici, possono essere scomposti con Ruffini (ma solo trovando le radici dei rispettivi polinomi, il che non è per niente facile), e non possono nemmeno essere scomposti con raccoglimento.
Detto questo, come pensi che possano essere scomposti?
"Pianoth":
$x^8+64$ è il più sorprendente: $(x^4+4x^2+8)(x^4-4x^2+8)$.
Ho fatto un casino e mezzo... Pensavo volessi calcolare le soluzioni (mi sa che si era capito da quello che ho scritto).
Sì, si era capito Comunque scomporre con i numeri complessi $x^8+64$ non è sbagliato 
Comunque scomporre con i numeri complessi $x^8+64$ non è sbagliato
Andiamo! Per il secondo polinomio è sufficiente un po' di colpo d'occhio mentre primo e terzo richiedono uno stesso accorgimento; i metodi tradizionali indicati da Zero87 non servono e, come dice giustamente, rischiano di preludere all'esaurimento nervoso.
Piuttosto, senza ricorrere ai numeri complessi, sapreste dimostrare che i fattori indicato da Pianoth non sono ulteriormente scomponibili in polinomi a coefficienti interi?
Piuttosto, senza ricorrere ai numeri complessi, sapreste dimostrare che i fattori indicato da Pianoth non sono ulteriormente scomponibili in polinomi a coefficienti interi?
Ah, hai ragione, per il secondo si può scomporre con i metodi tradizionali, non ci avevo fatto caso 
Comunque dimostrare che non sono scomponibili ulteriormente i miei fattori è abbastanza banale per il primo e il terzo dato che l'anello è il campo dei numeri interi (quindi con il criterio di Eisenstein per esempio), per l'ultimo un po' meno (almeno mi sembra, magari è tutto il contrario)
Comunque dimostrare che non sono scomponibili ulteriormente i miei fattori è abbastanza banale per il primo e il terzo dato che l'anello è il campo dei numeri interi (quindi con il criterio di Eisenstein per esempio), per l'ultimo un po' meno (almeno mi sembra, magari è tutto il contrario)
Comunque Giammaria ti faccio notare che la mia domanda all'inizio non era una sfida per vedere chi riuscisse a risolverli, era chiedere in quali e quanti modi si potessero scomporre...
"Pianoth":
... dato che l'anello è il campo dei numeri interi (quindi con il criterio di Eisenstein per esempio)
Ti faccio presente che questa stanza è dedicata agli allievi delle superiori, che non conoscono gli anelli; io chiedevo una risposta al loro livello.
Per quanto riguarda il tuo successivo "... era chiedere in quali e quanti modi si potessero scomporre", non mi è chiaro se intendi riferirti al metodo di scomposizione oppure al risultato; in quest'ultimo caso, se consideri solo i polinomi a coefficienti interi (e allora la risposta è unica) o se ne accetti anche altri.
No, intendevo al metodo... Comunque non importa, penso che ci sia un solo modo anche per quello Invece per quanto riguarda la tua domanda, per risponderla con conoscenze da scuole superiori si potrebbe dire che le radici dei fattori non sono tra i divisori del termine noto... Altrimenti non saprei 
Invece per quanto riguarda la tua domanda, per risponderla con conoscenze da scuole superiori si potrebbe dire che le radici dei fattori non sono tra i divisori del termine noto... Altrimenti non saprei
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