Il Trapezio "sembra facile"
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Risposte
Posto $ABD=alpha$, è facile stabilire in base ai dati l'ampiezza degli altri angoli segnati nella figura. Il triangolo ABC risulta "Doppiangolo" e quindi per esso vale la formula ( vedi post ' Triangolo "Doppiangolo" ' di matdom in questa medesima sezione! ):
$a^3-3R^2a+R^2c=0$
Nel nostri caso è $a=x,c=n$ e dunque l'equazione che risolve il problema è :
$x^3-3R^2x+nR^2=0$ con $0
$Delta=-R^6+1/4n^2R^4=1/4R^4(n^2-4R^2)$
Da qui risulta che ( lascio i dettagli a chi vuole ) per $0
$h^2=x^2-1/4(n-x)^2$, essendo x la radice dell'equazione di cui prima ( il calcolo esplicito di $h$ e dell'area $S$ della superficie del trapezio mi sembra inutile e più appropriato nel caso che per $n$ ed $R$ siano dati valori numerici o sia $n=2R$ ).
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una soluzione altrenativa potrebbe essere risalire alle corde dagli archi:
noi conosciamo n (BC) e R. Vogliamo trovare una formula che ci permette di esprimere l'arco associato a BC.
tracciamo l'altezza del triangolo OBC relativa a BC, chiamiamo \(\displaystyle \alpha \) l'angolo in O e P il piede dell'altezza, consideriamo il triangolo OPC, in esso abbiamo che l'angolo in O vale \(\displaystyle \frac{\alpha}{2} \), percio per la formula del seno PC vale \(\displaystyle R sin(\frac{\alpha}{2}) \), allora siccome PC è la meta di BC, vale \(\displaystyle BC=2R sin(\frac{\alpha}{ 2}) \).
E da qui suppongo si possa ricavare \(\displaystyle \alpha \) una volta inseriti i dati (cioè un equazione trigonometrica no?).
a questo punto voglio ricavare gli 3 lati (che sono corde), vado per angoli, faccio \(\displaystyle \frac{360- \alpha}{3} \) e a questo punto notiamo come la formula \(\displaystyle BC=2R \ sin(\frac{\alpha}{2}) \) vale anche per i 3 lati, la costruzione è la stessa, vabbe dunque mi ricavo i 3 lati con quella formula e a questo punto finire è semplice, basta applicare pitagora e si ha l'altezza..
noi conosciamo n (BC) e R. Vogliamo trovare una formula che ci permette di esprimere l'arco associato a BC.
tracciamo l'altezza del triangolo OBC relativa a BC, chiamiamo \(\displaystyle \alpha \) l'angolo in O e P il piede dell'altezza, consideriamo il triangolo OPC, in esso abbiamo che l'angolo in O vale \(\displaystyle \frac{\alpha}{2} \), percio per la formula del seno PC vale \(\displaystyle R sin(\frac{\alpha}{2}) \), allora siccome PC è la meta di BC, vale \(\displaystyle BC=2R sin(\frac{\alpha}{ 2}) \).
E da qui suppongo si possa ricavare \(\displaystyle \alpha \) una volta inseriti i dati (cioè un equazione trigonometrica no?).
a questo punto voglio ricavare gli 3 lati (che sono corde), vado per angoli, faccio \(\displaystyle \frac{360- \alpha}{3} \) e a questo punto notiamo come la formula \(\displaystyle BC=2R \ sin(\frac{\alpha}{2}) \) vale anche per i 3 lati, la costruzione è la stessa, vabbe dunque mi ricavo i 3 lati con quella formula e a questo punto finire è semplice, basta applicare pitagora e si ha l'altezza..
@matdom
La citazione era doverosa dal momento che la formula per i triangoli "Doppiangolo" non era farina del mio sacco.
Aggiungo anche che il procedimento di wall98 mi ha fatto venire in mente che all'equazione $x^3-3R^2x+nR^2=0$
ci si può arrivare anche per altra via.
Dal triangolo ABC per il teorema della corda ho :
$x=AB=2Rsin alpha$
$n=BC=2Rsin(pi-3alpha)=2Rsin 3 alpha =2R(3sin alpha -4sin^3 alpha)$
Dalla prima di queste relazioni ho :
$sin alpha=x/{2R}$
che sostituito nella seconda relazione porta, con qualche semplice calcolo, all'equazione in questione :
$x^3-3R^2x+nR^2=0$
La citazione era doverosa dal momento che la formula per i triangoli "Doppiangolo" non era farina del mio sacco.
Aggiungo anche che il procedimento di wall98 mi ha fatto venire in mente che all'equazione $x^3-3R^2x+nR^2=0$
ci si può arrivare anche per altra via.
Dal triangolo ABC per il teorema della corda ho :
$x=AB=2Rsin alpha$
$n=BC=2Rsin(pi-3alpha)=2Rsin 3 alpha =2R(3sin alpha -4sin^3 alpha)$
Dalla prima di queste relazioni ho :
$sin alpha=x/{2R}$
che sostituito nella seconda relazione porta, con qualche semplice calcolo, all'equazione in questione :
$x^3-3R^2x+nR^2=0$
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allora per l' innoCuo \(\displaystyle \frac{360-a}{3} \) ho capito, o meglio ciromario ha ben mostrato il passaggio all'equazione quindi non potevo non capire.
pero non ho ancora capito che intendi con "sentirsi padroni degli angoli e trattarli come se fossero altre entita", ma soprattutto se il procedimento funziona o no
Grazie.
pero non ho ancora capito che intendi con "sentirsi padroni degli angoli e trattarli come se fossero altre entita", ma soprattutto se il procedimento funziona o no
Grazie.
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Per wall98
Se ho capito bene la tua impostazione dovrebbe funzionare. Il problema nasce dopo. Prova a fare i calcoli quando hai 10 minuti, vedrai che a un certo punto ti troverai a un bivio. O usi come incognita un segmento, e allora arriverai all'equazione di 3° grado di ciromario; oppure continuerai ad usare come incognita un angolo, e allora arriverai ad una struttura del tipo \(\displaystyle x=sen(1/3 \ arcsen(α/3)) \) che è il "cuore" della risoluzione trigonometrica di una equazione di 3° grado.
Ehmm....ufficialmente la trigonometria non la dovrei conoscere, e in effetti di trigonometria so solo la definizione di seno e coseno, quindi i calcoli li rifaccio fra qualche anno...pero anche se dovessi leggerli non li capirei per adesso.
grazie.
wowowowowwwwwwwwwwww 
Prometti beneeeeeeee
Continua così
Prometti beneeeeeeee
Continua così
mi ricordo una tua frase detta in un altro post (ora i tuoi messaggi non si leggono piu 
), era tipo "ho cercato su internet una formula per risolvere equazioni di quarto grado, non l'ho trovata cosi ho deciso di crearla"
in quel momento pensai, no neanche pensai talmente era forte lo stupore, rilessi tre volte ma non c'era verso, avevo capito bene, ora posso ringraziare per i complimenti
Ma mi rimane la convinzione che dovrei essere io a fare i complimenti a te, beh complimenti allora
), era tipo "ho cercato su internet una formula per risolvere equazioni di quarto grado, non l'ho trovata cosi ho deciso di crearla"in quel momento pensai, no neanche pensai talmente era forte lo stupore, rilessi tre volte ma non c'era verso, avevo capito bene, ora posso ringraziare per i complimenti
Ma mi rimane la convinzione che dovrei essere io a fare i complimenti a te, beh complimenti allora
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