Il problema di Monty Hall
questo è un problema di probabilità interessante (non ve lo scrivo, l'ho cercato su internet uno formulato per bene che eviti problemi di comprensione):
Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?
questa è un'altra maniera in cui l'ho trovato:
Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte;
Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato;
Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta;
Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta;
Il conduttore aprirà sempre una porta che nasconde una capra;
Cioè, se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra;
Se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti;
Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.
Le possibilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta?
Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?
questa è un'altra maniera in cui l'ho trovato:
Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte;
Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato;
Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta;
Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta;
Il conduttore aprirà sempre una porta che nasconde una capra;
Cioè, se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra;
Se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti;
Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.
Le possibilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta?
Risposte
"minomic":
Se non gli spieghi niente secondo me la sua probabilità di vittoria è 1/2 mentre se gli spieghi i retroscena e gli indichi la porta scelta dal concorrente poni il passante nella stessa identica situazione del concorrente e quindi vale il discorso fatto prima, secondo cui conviene cambiare (probabilità 2/3). Sbaglio?
Già, in pratica è come se si sostituisse il concorrente. È una cosa strana, perché un'informazione apparentemente non correlata sembra cambiare le probabilità. Credo sia una conseguenza del fatto che la domanda "Conviene cambiare scelta?" non è equivalente a "Qual è la probabilità di scegliere la porta giusta?". Quest'ultima, dopo che il conduttore ha aperto la porta, è sempre 1/2, mentre la prima è come dire "Scegli una porta, oppure scegli le altre due, di cui una te la apre il conduttore?".
Ragazzi, riapro questa discussione perché ho un dubbio su una variante del Problema. In particolare è la variante dove il conduttore apre una porta senza sapere cosa vi è dietro e dopo proponga il cambio al giocatore. Sembra che su wikipedia Italia si affermi che la probabilità che la porta vincente sia quella inizialmente scelta dal giocatore sia $1/2$ che è anche la probabilità che la porta rimasta inoptata sia quella vincente.
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_ ... o_le_porte
anche su wikipedia internazionale si da la stessa conclusione
https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hal ... _behaviors - "Monty Fall" or "Ignorant Monty":
eppure non sono convinto.
Il punto è il seguente, se il conduttore apre la porta vincente, da quel che capisco una comunque la apre, il gioco finisce e questo accade con probabilità $1/3$
se invece il conduttore apre una porta perdente, ed accade con probabilità $2/3$ il gioco prosegue, ma in questo secondo caso non vedo differenze rispetto al gioco "classico" ed infatti direi che la probaabilità di vincere cambiando è $2/3$. L'unica cosa operativamente diversa rispetto al caso classico è la presenza di probabilita positiva ($1/3$) che non si arrivi a proporre la scelta.
Per esprimersi in modo diverso, sia nel gioco classico che in quello con "ignoranza" del conduttore la probabilità che la porta vincente sia quella inizialmente selezionata resta sempre $1/3$ e non diventa mai $1/2$. Come potrebbe se dopo la scelta iniziale nessuno l'ha più toccata?
Unica cosa che mi viene da aggiungere è che se il conduttore elimina una porta senza però aprirla, ovvero rendere palese il contenuto agli altri, e senza dire nulla al giocatore riguardo la possibilità che quella eliminata sia vincente o meno, allora, davanti ad una proposta di cambio con la porta ancora in gioco, vi sarebbe indifferenza nel cambio. Con probabilità di vincita $1/3$ contro $1/3$ e non $1/2$ contro $1/2$; questo perché la porta eliminata può essere quella vincente. In altri termini la stessa situazione si avrebbe se il conduttore prendesse le mosse per primo eliminando una porta a caso. Tuttavia il gioco non mi sembra strutturato come quest'ultimo caso descritto.
N.B:
riguardo il caso di cui parlavate della sostituzione del giocatore con un passante ... è tutta una questione d'informazione. Non vi è nulla di esoterico, anche se può sembrare, ma è il punto di vista ad essere fondamentale. E' vero, per il passante le probabilità sono $1/2$ ed $1/2$ ma se è per questo allora per il conduttore sono $1$ e $0$ ... l'unico modo coerente di ragionare in probabilità condizionali è di partire da uno schema iniziale ed aggiungere informazioni. E' proprio il concetto di condizionamento/informazione che ci fa capire come le probabilità non siano una proprietà assoluta, concetto "vecchio", ma relativa, appunto, all'informazione.
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_ ... o_le_porte
anche su wikipedia internazionale si da la stessa conclusione
https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hal ... _behaviors - "Monty Fall" or "Ignorant Monty":
eppure non sono convinto.
Il punto è il seguente, se il conduttore apre la porta vincente, da quel che capisco una comunque la apre, il gioco finisce e questo accade con probabilità $1/3$
se invece il conduttore apre una porta perdente, ed accade con probabilità $2/3$ il gioco prosegue, ma in questo secondo caso non vedo differenze rispetto al gioco "classico" ed infatti direi che la probaabilità di vincere cambiando è $2/3$. L'unica cosa operativamente diversa rispetto al caso classico è la presenza di probabilita positiva ($1/3$) che non si arrivi a proporre la scelta.
Per esprimersi in modo diverso, sia nel gioco classico che in quello con "ignoranza" del conduttore la probabilità che la porta vincente sia quella inizialmente selezionata resta sempre $1/3$ e non diventa mai $1/2$. Come potrebbe se dopo la scelta iniziale nessuno l'ha più toccata?
Unica cosa che mi viene da aggiungere è che se il conduttore elimina una porta senza però aprirla, ovvero rendere palese il contenuto agli altri, e senza dire nulla al giocatore riguardo la possibilità che quella eliminata sia vincente o meno, allora, davanti ad una proposta di cambio con la porta ancora in gioco, vi sarebbe indifferenza nel cambio. Con probabilità di vincita $1/3$ contro $1/3$ e non $1/2$ contro $1/2$; questo perché la porta eliminata può essere quella vincente. In altri termini la stessa situazione si avrebbe se il conduttore prendesse le mosse per primo eliminando una porta a caso. Tuttavia il gioco non mi sembra strutturato come quest'ultimo caso descritto.
N.B:
riguardo il caso di cui parlavate della sostituzione del giocatore con un passante ... è tutta una questione d'informazione. Non vi è nulla di esoterico, anche se può sembrare, ma è il punto di vista ad essere fondamentale. E' vero, per il passante le probabilità sono $1/2$ ed $1/2$ ma se è per questo allora per il conduttore sono $1$ e $0$ ... l'unico modo coerente di ragionare in probabilità condizionali è di partire da uno schema iniziale ed aggiungere informazioni. E' proprio il concetto di condizionamento/informazione che ci fa capire come le probabilità non siano una proprietà assoluta, concetto "vecchio", ma relativa, appunto, all'informazione.
"markowitz":
...
Non ho seguito benissimo il tuo ragionamento, ma la probabilità è $1/2$. Supponi ad esempio che la macchina sia nella porta $A$. Possiamo distinguere i seguenti casi, tutti equiprobabili.
$1)$ Scelgo la porta $A$, lui apre la porta $B$.
$2)$ Scelgo la porta $A$, lui apre la porta $C$.
$3)$ Scelgo la porta $B$, lui apre la porta $C$.
$3)$ Scelgo la porta $C$, lui apre la porta $B$.
Gli altri casi sono esclusi perché, se lui apre la porta $A$, allora il gioco finisce.
Come vedi, se decido di cambiare scelta, nei primi $2$ casi perdo, negli ultimi $2$ casi vinco.
"Vincent46":
...
Gli altri casi sono esclusi perché, se lui apre la porta $ A $, allora il gioco finisce.
Penso prorpio sia qui il punto da chiarire. Forse è qualcosa sulla struttura del gioco che mi sfugge o comunque sul concetto di casi "esclusi".
Per come intendo io, il fatto che il gioco "finisca" è irrilevante rispetto alla valutazione della probabilità che la porta inizialmente scelta sia quella vincente. Tale probabilità, mi pare chiaro, è sempre $1/3$.
In altre parole se il giocatore fa la sua scelta, ed ovviamente la porta resta chiusa, e non cambia allora vincerà solo prob $1/3$ e non certo $1/2$, poi con $1/3$ di prob il gioco finisce e non si arriva proprio alla scelta, ma il giocatore comunque perde, e con $1/3$ di prob il gioco non finisce ma il giocatore comunque perde.
D'altra parte ci si può chiedere qual'è la prob di vincere condizionatamente al fatto che, pur scegleindo casualmente, il conduttore elimina una capra, e la cosa diventa conosciuta al giocatore, ma questa situazione è identica al caso classico, che il conduttore si sia mosso casualmente o meno non vi sono modifiche rispetto alle informazioni in mano al giocatore, e quindi la prob che la porta inoptata sia quella vincente è $2/3$, quella della porta inizialmente scelta resta $1/3$ e quindi conviene cambiare.
Come dicevo prima è anche possibile un gioco dove il conduttore elimina la porta senza aprirla e quindi senza rendere palese cosa vi sia dietro. In questo caso cambiare o meno è probabilisticamente equivalente (ma è fondamentale che la porta eliminata resti chiusa). Tuttavia la probabilità di vincere e cambiare è $1/3$ contro $1/3$ e con il restante $1/3$ di prob il giocatore non vince ne cambiando ne non cambiando. Tuttavia le regole non mi sembrano queste, ed in ogni caso la prob che la carta inizialmente scelta sia vincente resta inevitabilmente $1/3$.
In un certo senso quello che spieghi tu (Vincent46) e non solo tu si avvicina a questo caso ma non capisco bene cosa intendi con "esclusi" in relazione alla probabilità da calcolare.
A me sembra che la probabilità di vincere senza cambiare sia $1/2$ solo se il conduttore elimina una porta perdente prima che il giocatore possa vedere le porte; ma ovviamente non è questo il gioco.
Tuttavia forse sbaglio ma ancora non capisco dove.
"markowitz":
D'altra parte ci si può chiedere qual'è la prob di vincere condizionatamente al fatto che, pur scegleindo casualmente, il conduttore elimina una capra, e la cosa diventa conosciuta al giocatore, ma questa situazione è identica al caso classico, che il conduttore si sia mosso casualmente o meno non vi sono modifiche rispetto alle informazioni in mano al giocatore, e quindi la prob che la porta inoptata sia quella vincente è $2/3$, quella della porta inizialmente scelta resta $1/3$ e quindi conviene cambiare.
non credo. se io so che il conduttore ha aperto una porta in maniera casuale, eppure vedo che dietro la porta aperta c'è una capra, allora questo mi dà informazioni in più rispetto al caso classico. Per la precisione: dopo questo avvenimento, io deduco che è più probabile che dietro alla porta che ho scelto ci sia una macchina piuttosto che una capra.
credo che, matematicamente parlando, ci sia poco da capire: i casi possibili sono $4$ e sono tutti equiprobabili, quindi la probabilità di vincere è: casi favorevoli fratto casi possibili. poi forse sbaglio qualcosa.
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