Il grande numero esadecimale di Marco

[Pianoth]

Un altro piccolo quesito che ho inventato.

Marco vuole costruire un numero esadecimale molto grande. Per farlo, scrive i numeri esadecimali da \( 1 \) a \( F \) (ossia \( 1, 2, 3, \dots, C, D, E, F \)) nel seguente modo:

1. Prima scrive ogni numero una volta, ottenendo la sequenza: \( 1234\dots CDEF \).
2. Poi ripete ogni numero due volte consecutivamente, ottenendo: \( 112233\dots DDEEFF \).
3. Continua in questo modo, ripetendo tre volte ogni numero, poi quattro volte, e così via, fino a ripetere ogni numero \( 2024 \) volte.

Il numero finale ottenuto ha quindi questa struttura:

\[
1234\dots CDEF112233\dots DDEEFF111222\dots \quad \text{(e così via, fino a \( 2024 \) ripetizioni per ogni cifra)}
\]

Determina se il numero costruito da Marco è divisibile per \( 17 \).

[Quinzio]

Prima di tutto notiamo che $17$ si scrive $0x11$ in esadecimale.
Da adesso tutti i numeri sono scritti in base esadecimale.
Il reciproco di $11$ e' $0.\bar{0f}$. La barra sta per il numero periodico.
Come verifica, se si moltiplicano i due numeri si ottiene $0.\bar{ff} = 1$.
Quindi dividere un numero per $11$ e' come moltiplicare per $0.\bar{0f}$, ovvero e' come moltiplicare per $0.\bar{10} - 0.\bar{01}$.
Ora eseguiamo la moltiplicazione $k(0.\bar{10} - 0.\bar{01})$ nel modo manuale, come ci hanno insegnato con carta e penna alle elementari .
Scriviamo il numero $k$ su una riga, poi nella riga sottostante scriviamo $-k$ spostato di una cifra a destra. Notiamo che e' $-k$ nella riga sottostante cioe' negativo, perche' moltiplichiamo per $-0.01$.
Poi scriviamo nella riga sottostante $k$ spostato di due cifre a destra, poi ancora nella riga sottostante $-k$ spostato di 3 cifre a destra, e cosi' via all'infinito perche' il moltiplicatore e' periodico.
Adesso analizziamo una singola colonna a destra della virgola, cioe' nella zona frazionaria.
Leggendo la colonna dal basso all'alto, vediamo che si legge il numero $k$, dove ogni cifra ha il segno alternato, ovvero che cambia di segno ad ogni riga.
Scriviamo l'inizio del numero, dove $k$ e' il numero esadecimale del problema proposto, ovvero $123456789abcdef112233...$, mettendo i segni come compaiono nella colonna. (Nota: il primo segno potrebbe essere anche un meno, questo fatto e' indifferente ai fini della dimostrazione)
$+1-2+3-4+5-6+7-8+9-a+b-c+d-e+f-1+1-2+2-3+3...$
Adesso dimostriamo che questa somma e' nulla, se $k$ e' il numero proposto dal problema. In questo modo dimostriamo che se la somma di ogni colonna e' nulla, ogni cifra decimale e' nulla, e quindi che $k / 11$ e' un intero.
Prendiamo in particolare una porzione della somma e notiamo che si puo' scrivere come
$+1+k(-1+1)-2+l(+2-2)+...+m(-1+1)+n(-2+2)...$
Le lettere che compaiono sono dei coefficienti che non hanno importanza, in quanto tutte le parentesi sono nulle.
Quindi si rimane con
$+1-2+3-4+5-6+7-8+9-a+b-c+d-e+f$
a cui fa seguito una somma simile ma con i segni invertiti, siccome la porzione di somma precedente contiene un numero dispari di addendi, quindi se la somma inizia con un $+$, termina con un $+$ e la somma successiva inizia con un $-$.
$-(+1-2+3-4+5-6+7-8+9-a+b-c+d-e+f)$
Siccome queste coppie di sequenze sono in numero pari, siccome $2024$ e' divisibile per $4$, alla fine l'intera somma e' nulla. Questo conclude la dimostrazione.

[hydro1]

Più semplicemente

Scritto in base $16$, un numero è $0$ modulo $17$ se e solo se la somma delle cifre in posizione dispari è uguale alla somma delle cifre in posizione pari.