Goldbach

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Dimostrare che Goldbach è vero nei seguenti due casi:

Polinomi:
i) Sia \(f(x) \in \mathbb{Z}[x] \), ovvero un polinomio \( f(x)= a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0 \) con \( a_i \in \mathbb{Z} \) per ogni \(0 \leq i \leq n \), con \( \deg f = n \geq 1 \), dimostra che esistono due polinomi \( p(x), q(x) \in \mathbb{Z}[x] \) irriducibili e con \( \deg p = \deg q = n \) tale che
\[ f(x) = p(x) + q(x) \]

Suggerimento: potete utilizzare il fatto che per ogni \( m \in \mathbb{Z} \) esistono infinite coppie di primi \(p,q \in \mathbb{N} \) tale che \( q-p>\left|m\right|\).

ii) Dedurre da i) che Goldbach è vero per ogni \(f(x) \in \mathbb{Q}[x] \), con \( \deg f =n \geq 1\).

Matrici:
iii) Sia \( d \in \mathbb{Z}^* \), dimostra che esistono infinite coppie di primi \(p,q\) tali che \( d \mid p-q\).
iv) Sia \( d \in \mathbb{Z}^* \), dimostra che esistono infinite coppie di primi \(p,q\) tali che \(d \mid p+q \).

Definizione:
Diciamo che una matrice \( P \in M_n(\mathbb{Z}) \) è prima se \( \det(P) \) è un numero primo in \( \mathbb{Z}\), ovvero i numeri primi \(p \) e i loro inversi additivi: \(-p\).

v) Sia \(n > 1\) un intero e \(A \in M_n(\mathbb{Z}) \) una matrice quadrata a coefficienti in \( \mathbb{Z}\) e diversa dalla matrice nulla. Deduci da iii), iv) e dal teorema qui sotto che esistono due matrici prime \(P,Q \in M_n(\mathbb{Z}) \) tale che \[ A= P+Q\].

Teorema
Siano \(n\) ed \(A\) come in v) e \(x,y \) due interi qualunque allora
1) Se \(n\) è pari, vi sono due matrici \(X,Y \in M_n(\mathbb{Z}) \) tale che \( \det(X) = x \) e \( \det(Y) = y \) e \(A=X+Y\)se e solo se \( \det(A) \mid x-y \).
2) Se \(n\) è dispari, vi sono due matrici \(X,Y \in M_n(\mathbb{Z}) \) tale che \( \det(X) = x \) e \( \det(Y) = y \) e \(A=X+Y\) se e solo se \( \det(A) \mid x+y \).

vi) Che dire di v) se \( n =1 \) ?

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Nessuno?

[hydro1]

Non credo che questa sia la sezione giusta del forum per questo problema. Ad ogni modo, i) è un claim bellino, si può fare così: intanto provo che se $p,q$ sono interi coprimi e $c$ è un intero qualsiasi allora esistono interi $a,b$ tali che $p$ non divide $a$, $q$ non divide $b$ e $ap+bq=c$. Questo è vero perché tutte le soluzioni di $xp+yq=c$ sono della forma $x_k=x_0+kq$ e $y_k=y_0+kp$ con $x_0,y_0$ fissati e $k$ qualsiasi. Ma ovviamente posso sempre scegliere $k$ tale che $p$ non divide $x_k$ e $q$ non divide $y_k$, è solo il teorema cinese del resto.

Adesso prendo $f$, mi scelgo $p,q$ primi distinti grandi e per ogni $i

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