Geometria euclidea: ellisse e circonferenza concentriche

[georg6667]

Ciao,

ho un problemino:
1) nel piano euclideo si prenda un'ellisse a piacere e si trovi il centro E.
2) si prenda un punto C sull'ellisse e si tracci la circonferenza di centro E e raggio EC
3) si congiungano i punti di intersezione C, D tra ellisse e circonferenza.
4) la corda così descritta è perpendicolare a uno degli assi dell'ellisse?

grazie

[axpgn]

Quale punto $D$ ? Ce ne sono tre ...

[Erasmus_First]

"georg6667":Ciao,

ho un problemino:
1) nel piano euclideo si prenda un'ellisse a piacere e si trovi il centro E.
2) si prenda un punto C sull'ellisse e si tracci la circonferenza di centro E e raggio EC
3) si congiungano i punti di intersezione C, D tra ellisse e circonferenza.
4) la corda così descritta è perpendicolare a uno degli assi dell'ellisse?
grazie

Occhio! I punti di intersezione sono in generale 4; ed in due soli particolari casi sono due coppie di punti coincidenti (cioè di tangenza).
Diciamo $A$ e $B$ i vertici dell'ellisse (intersezione della curva col suo asse principale) ed $M$ e $N$ l'intersezione della curva con l'asse secondario.
La circonferenza concentrica in $E$ con l'ellisse per un punto $C$ dell'ellisse:
a) Se $C$ coincide con un vertice ($A$ o $B$) è tagente all'ellisse in $A$ e in $B$ e gli altri punti dell'ellisse sono tutti interni alla circonferenza. Ovviamente la corda AB è un diametro ed è ortogonale all'asse secondario MN.
b) Se $C$ coincide con un uno dei punti $M$ o $N$ intersezione dell'ellisse con il suo asse secondario è tangente all'ellisse in $M$ ed in $N$ e gli altri punti dell'ellisse sono tutti esterni alla circonferenza. Ovviamente la corda MN è un diametro ed è ortogonale all'asse principale AB.
c) Se $C$ non è un punto di intersezione con un asse dell'ellisse la circonferenza interseca l'ellisse in 4 punti, altri tre oltre a $C$. Uno di questi – diciamolo D – è il simmetrico di $C$ (di simmetria ortogonale) rispetto all'asse secondario, un altro, – quello diametralmente opposto a $C$, diciamolo F – è il simmetrico di $C$ (di simmetria centrale) rispetto al centro $E$. Il quarto punto di intersezione – diciamolo G – è il simmetrico di C (di simmetria ortogonale) rispetto all'asse principale. Ovviamente la corda CD è perpendicolare all'asse secondario e parallela all'asse principale, la corda CG è perpendicolare all'asse principale e parallela all'asse secondario; e le corde diametrali CF e DG non sono perpendicolari all'uno né all'altro asse dell'ellisse,

Prova a fare qualche disegnino: vedrai che è tutto estremamente facile ed evidente!
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