Geometria euclidea di triangoli

[giulylanza06]

Sia ABC un triangolo scaleno, sia L il piede della bisettrice di BAC [ e sia K
il piede della bisettrice di ABC [. L’asse di BK interseca la retta AL in un punto M. Sia
N un punto sulla retta BK tale che LN è parallelo a MK. Dimostrare che LN = NA.

[orsoulx]

Dato un triangolo qualsiasi l'intersezione della bisettrice di un angolo con l'asse del lato opposto è il punto medio dell'arco della circonferenza circoscritta avente per estremi gli estremi del lato considerato.
Il punto M appartiene perciò alla circonferenza passante A, B e K e l'angolo BKM è congruente all'angolo BAM.
Per essere LN parallelo ad MK è anche BNL congruente a BAL ed i punti N ed A vedono il segmento BL sotto lo stesso angolo ed appartengono alla medesima circonferenza passante per B ed L.
I segmenti AL ed LN sono allora congruenti perché sottesi agli angoli [strike]ABL[/strike] ABN ed LBN congruenti per ipotesi.

Ciao
PS Mi son reso conto [14:50] che la precedente dimostrazione non è completa. Chi riesce a scoprire l'errore?

[giulylanza06]

nell'ultimo passaggio hai sicuramente confuso l con n

[orsoulx]

@gl630,
penultimo passaggio.
BNL congruente BKM, perché angoli corrispondenti delle parallele LN e KM tagliate dalla trasversale BK.
BNL congruente BAL per la transitività della congruenza (BKM congruente BAM=BAL dimostrato al passaggio precedente).
A ed N vedono BL sotto angoli congruenti ed il luogo dei punti che vedono un segmento sotto angoli congruenti è un arco di circonferenza passante per gli estremi del segmento (o, meglio, due archi di circonferenza congruenti, perché simmetrici rispetto alla retta cui appartiene il segmento).
Ultimo passaggio.
Hai ragione: al posto di ABL occorre leggere ABN (vado a correggere). Non era comunque questa la parte mancante che avevo segnalato.
Ciao