Geometria angoli e prsllelogrammi

[giulylanza06]

Consideriamo cinque punti A,B,C,D ed E tali che ABCD è un parallelogramma e BCED è un quadrilatero convesso e ciclico. Sia l una retta passante per A. Supponiamo che l intersechi il segmento DC in suo punto interno F e che intersechi la retta BC in G. Supponiamo inoltre che EF = EG = EC. Dimostrare che l è la bisettrice dell’angolo d

[Erasmus_First]

a) A provocare l'errore di scrittura è la coppia di apostrofi ciascuno dei quali segue una "e" per intendere "è".
Mi permetto di correggere sostituendo "e" apostrofato con "è"
Geometria angoli e parallelogrammi
«Consideriamo cinque punti A,B,C,D ed E tali che ABCD è un parallelogramma e BCED è un quadrilatero convesso e ciclico. Sia l una retta passante per A. Supponiamo che l intersechi il segmento DC in un suo punto interno F e che intersechi la retta BC in G. Supponiamo inoltre che EF = EG = EC.
Dimostrare che l è la bisettrice dell’angolo d.»

b) Insomma: il punto E è il circocentro del triangolo CFG.
Non è detto che angolo è l'angolo "d".
Siccome è detto che la retta l è "passante per A" ed intersecca il segmento DC in un suo punto interno, verrebbe da pensare che "d" sia l'angolo [interno] del parallelogramma di vertice A, diciamolo BAD.
Ma è evidente che la retta l può dividere quest'angolo in due parti non necessariamente uguali.
Ed io non vedo quale altro angolo viene diviso in due parti dalla retta l.

Quiz misterioso ...
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[orsoulx]

"Erasmus_First":'...angolo [interno] del parallelogramma di vertice A, diciamolo BAD.
Ma è evidente che la retta l può dividere quest'angolo in due parti non necessariamente uguali.

A me risulta vero il contrario.
Ciao

[Erasmus_First]

"Erasmus_First":Quiz misterioso ...

---> Quiz_misterioso.png

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[/quote]

[orsoulx]

@Erasmus,
spero tu abbia passato delle serene feste natalizie, senza l'assillo di quei grandi punti interrogativi.
Più di dieci giorni fa proponevi la tua versione di questo problema, che commentavi asserendo l'evidenza della divisione, da parte della retta $ l $, dell'angolo $ BAD $ in parti non necessariamente uguali.
Ritengo che fra gli infiniti angoli esattamente bisecati dalla retta $ l $, vi sia anche $ BAD $, come sostenni poche ore dopo.
Nel bel disegno che ora ci mostri non vedo alcuna "evidente diseguaglianza" fra gli angoli $ BAF $ e $ FAD $.
Qual è la novità?
Ciao

[Erasmus_First]

Considero "ciclco" ogni elenco ordinato in cui l'ultimo elemento precede il primo. Ciclico è l'elenco dei giorni d'una settimana, dei mesi di un anno, delle ore di un orologio, di una terna di assi (cioè di rette orientate) dello spazio tridimensionale orientata secondo la "regola del cavatappi", ecc.
Ciclico è anche l'elenco con cui si danno i vertici di un poligono.
[E quindi il chiamare ABCD un quadritalero convesso è lo stesso del chiamaro BCDA o CDAB o DABC].

Ecco allora il mio errore: in questo quiz avevo considerato superfluo l'attributo "ciclico" riferito al quadrilatero DBCE, non immaginando che, invece, l'autore del testo [inserito da gl630 ... che lancia il sasso e poi scompare!] intendeva dire che il quadrilatero DBCE era "circoscrittibile" (ammetteva cioè il cerchio circoscritto, e quindi gli angoli interni di vertici opposti erano supplementari).

Sarà perché per tutti gli 8 anni dalle elementari all'università (dalla 1ª Media alla 3ª Liceo Classico incluse) ho avuto lo stesso (unico) profe di matematica che mai avrebbe detto "ciclico" per intendere "circoscrittibile", fatto sta che solo qualche giorno fa, andando a cercare in Wikipedia "Poligono ciclico" ho scoperto che in questo caso "ciclico" significa "con tutti i vertici sulla stessa circonferenza".
[Mi resta un punto di domanda. Perché sostituire l'inequivocabile "circoscrittibile" (o "circoscrivibile") con l'equivoco aggettivo "ciclico"?
––> "Circoscrittibile", (ricerca con Google)
––> "Ciclico", (ricerca con Google)
Vuoi vedere che si tratta ancora d'un pedaggio pagato alla moda anglofila?
––> Circumscribed circle.
Qui si legge, tra l'altro: «A polygon which has a circumscribed circle is called a cyclic polygon»
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Ho detto tutto questo per spiegare come sono incorso nella seguente b "inopportuna" affermazione:

"Erasmus_First": ... è evidente che la retta l può dividere quest'angolo in due parti non necessariamente uguali.

Il quiz sta proprio nel dimostrare che invece quelle parti sono uguali!
Disegnando con buona accuratezza (ed imponendo al punto E di stare sulla circonferenza per D, B e C), si trova che la retta l per i punti [allineati] A, F e G è bisettrice dell'angolo DAB, (che quindi è da intendersi come l'angolo "d" del testo).

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[/quote]