Geometria analitica

[.Ruben.17]

Un triangolo equilatero ABC di lato 1 si muove nel piano in modo che il vertice A giaccia sempre sull'asse delle ordinate e il vertice B su quello delle ascisse. Durante il movimento che figura descrive il punto medio M del lato AB?
E il vertice C?

[Erasmus_First]

".Ruben.":Un triangolo equilatero ABC di lato 1 si muove nel piano in modo che il vertice A giaccia sempre sull'asse delle ordinate e il vertice B su quello delle ascisse. Durante il movimento che figura descrive il punto medio M del lato AB?
E il vertice C?

Il punto M descrive la circonferenza di raggio 1/2 e cento O (0, 0), cioè di eequazione
$x^2 + y^2 = 1/4$.
Il punto C descrive l'ellisse di equazione $x^2 + y^2 - sqrt3xy = 1/4$.
Questa ell'sse ha il centro in O (0, 0) e i vertici sulla retta di equazione $y=x$. Pertanto la sua equazione diventa canonica con la sostituzione lineare
$x = sqrt2/2X - sqrt2/2Y$;
$y = sqrt2/2X + sqrt2/2Y$
con la quale l'equazione diventa:
$2/(2+sqrt3)X^2+2/(2-sqrt3)Y^2 =1$.
Diametro maggiore 2a e diametro minore 2b di questa ellisse sono dunque:
$2a = 2sqrt((2+sqrt3)/2) = sqrt3+1$;
$2b =2 sqrt((2-sqrt3)/2) = sqrt3-1$.

_______

[sandroroma]

Alcuni risultati indicati da Erasmus si possono ottenere per via puramente geometrica.
Per esempio per il primo quesito è sufficiente ricordare che la mediana relativa all'ipotenusa
di un triangolo rettangolo è la metà dell'ipotenusa.
Nel nostro caso risulta $\bar{OM}=bar{AB)/2=1/2$ è dunque il punto M descrive la circonferenza
di centro O e raggio 1/2.
Per il secondo quesito ci stò ...pensando

[.Ruben.17]

É interessante il procedimento con cui si arriva alla soluzione del secondo quesito...
Metodi diretti portano a calcoli spropositati...

[orsoulx]

Mi pare che le ellissi soluzione del secondo quesito siano due (simmetriche l'una dell'altra rispetto ad uno degli assi cartesiani, cambia solo il segno del termine in $xy$ ): il punto C non è completamente individuato dall'enunciato.
Le lunghezze dei loro assi si possono determinare, a mente e senza usare l'equazione: $ 2a=sqrt(3)+1, 2b=sqrt(3)-1 $; la semidistanza focale è $ c=root 4 3 $

".Ruben.":Metodi diretti portano a calcoli spropositati...

Cosa intendi per 'metodi diretti'?
Ciao

[Erasmus_First]

".Ruben.":É interessante il procedimento con cui si arriva alla soluzione del secondo quesito...
Metodi diretti portano a calcoli spropositati...

Anch'io chiedo, come orsoulx:
«Che cosa intendi per "metodi diretti"?»
E aggiungo:
"Che osa intendi per "calcoli spropositati"? Intendi forse "molto lunghi" e/o "complicati"?»
---------
Giusta e opportuna l'osservazione di orsoulx: non è ben definita la posizione del vertice C, ci sono due distinte possibili posizioni simmetriche rispetto al lato AB; le possibili ellissi sono dunque due.
Ma io non ci avevo fatto caso! Ho fatto prima un disegnino mettendo A sul semiasse positivo delle ordinate e B sul semiasse positivo delle ascisse; e ho poi messo C nel 1° quadrante (cioè in alto a destra rispetto al punto medio M di AB).

Io ho messo A sull'asse delle ordinate , – diciamo in $(0, y_A)$ – e B su quello delle ascisse – diciamo in $(x_B, 0)$. Quando entrambe $y_A$ e $x_B$ sono positive ho supposto che il terzo vertice C stesse nel primo quadrante.
Sia O l'origine – ossia il punto di coordinate $(0, 0)$. Detto allora φ l'angolo in B del triangolo OAB rettangolo in O, essendo 1 la lunghezza di AB e dicendo $(x, y)$ le coordinate di C si trova subito:
$x = 1/2cos(φ) + sqrt3/2sin(φ)$ ∧ $y = sqrt3/2cos(φ) + 1/2sin(φ)$ ⇔
⇔ $sqrt3x-y=sin(φ) $ ∧ $sqrt3y-x=cos(φ)$ ⇒ $(sqrt3x-y)^2+(sqrt3y-x)^2=1$ ⇔ $x^2 + y^2 -sqrt3xy = 1/4$.
E' questa una ellisse di centro O (0, 0). Sia P l'intersezione nel 1° quadrante con la retta per O di eq. $y= mx$. Detta d la distanza di P da O trovo:
$d^2(m) =x_P^2 +y_P^2 = 1/4(1+m^2)/(1+m^2-sqrt3m)$
Il massimo $d(m)$ è $d(1)$ ed è il semidiametro maggiore $a$. Il minimo di $d(m)$ è $d(-1)$ ed è il semidiametro minore $b$.
Pertanto: $a^2= 2/(4(2-sqrt3)) = (2+sqrt3)/2$; $b^2= 2/(4(2+sqrt3)) = (2-sqrt3)/2$.

_______

[.Ruben.17]

Intendo metodi più "scolastici" come imporre che la distanza AC e BC sia 1 e provare a risolvere le equazioni.

[orsoulx]

".Ruben.":Metodi diretti portano a calcoli spropositati...
.....Intendo metodi più "scolastici" come imporre che la distanza AC e BC sia 1 e provare a risolvere le equazioni.

Pensavo ti riferissi a costruzioni con riga e compasso, altrimenti non mi pare siano necessari calcoli 'spropositati'.
Versione scolastica, meccanoca e noiosa senza usare neppure la goniometria: sia $ A(u,0); B(0,v); C(x,y) $, il triangolo $ ABC $ è equilatero di lato $ 1 $.
$ {(AB^2=1),(AC^2=1),(BC^2=1) :} -> {(u^2+v^2=1),((x-u)^2+y^2=1), (x^2+(y-v)^2=1) :} -> {(u^2+v^2=1),(u=x+-sqrt(1-y^2)), (v=y +- sqrt(1-x^2)) :}$
da cui, sostituendo nella prima, si ottiene l'equazione del luogo: $ +- 2xsqrt(1-y^2) +-2ysqrt(1-x^2)+1=0 $; finito.
Volendo eliminare radicali e doppi segni basta isolare, ad esempio, il primo termine ed elevare al quadrato, ottenendo
$ 4x^2-4y^2-1 = +-4ysqrt(1-x^2)$ ed elevando ancora al quadrato
$ 16x^4-16x^2y^2+16y^4-8x^2-8y^2+1=0 $.
Al più, la parte meno facile è notare che l'equazione si può scrivere come differenza di quadrati e quindi scomporla
$ (4x^2+4y^2-1)^2-(4sqrt3xy)^2=0 -> (4x^2+4y^2-1+4sqrt(3)xy) (4x^2+4y^2-1-4sqrt(3)xy)=0 $;
che sono le equazioni ottenute da ErasmusFirst, sicuramente in maniera più agevole.

Mi pare, invece, interessante notare che qualsiasi sia il punto P, rigidamente solidale con A e B, questo descrive sempre un'ellisse: ellisse che diventa una circonferenza sse. P è il punto medio di AB; ellissi che possono degenerare in segmenti, quando...
La determinazione delle lunghezze degli assi e della distanza focale di queste ellissi è davvero elementare e non richiede la conoscenza dell'equazione del luogo. Individuare la direzione degli assi è, invece, meno semplice (di poco).
Ciao

[Erasmus_First]

"orsoulx":[...] La determinazione delle lunghezze degli assi [...] queste ellissi è davvero elementare e non richiede la conoscenza dell'equazione del luogo. Individuare la direzione degli assi è, invece, meno semplice (di poco).

Se l'ellisse è quella descritta dal vertice C d'un triangolo ABC isoscele sulla base AB, si vede di colpo che le direzioni degli assi dell'ellisse sono quelle delle bisettrici dei quadranti (cioè delle rette di equazione $y = ± x$).
Infatti, essendo "meccanicamente" equivalenti gli assi cartesiani rispetto al punto C [quali scivoli su uno dei quali può slittare A e sull'altro B], i vertici dell'ellisse stanno per forza su una delle due bisettrici [nel senso che non c'è alcun motivo perché l'inclinazione di un asse dell'ellisse su una delle due perpendicolari alle quali appartengono (rispettivamente) A e B sia minore (o maggiore) dell'inclinazione sull'altra perpendicolare).

Più pedissequamente, supponiamo che siano nulle l'ascissa di A e l'ordinata di B, e che quando l'ordinata di A e l'ascissa di B sono entrambe positive ed uguali le coordinate di C siano uguali e maggiori di $sqrt2$/2. E supponiamo che la distanza di C dal punto medio M di AB sia h.
Quando A sta in (0, 0) e B sta in (0, 1) C sta in (1/2, h), e quindi sulla retta di equazione y = (2h)x.
Quando A sta in (0,1) e B sta in (0, 0) C sta in (h, 1/2), e quindi sulla retta di equazione y = x/(2h).
Evidentemente la bisettrice dell'angolo di inclinazione di una di queste rette sull'altra – bisettrice che è la stessa bisettrice del 1° quadrante, cioè la retta di eq. $y = x$ – ha la direzione dell'asse maggiore dell'ellisse.
Allora il semidiametro maggiore risulta $a =$h+1/2 e quello minore risulta $b=$|h-1/2|.
_______

[orsoulx]

Certo Erasmus: se il punto $ P $, che descrive il luogo, è equidistante da $ A $ e $ B $, gli assi dell'ellisse coincidono (circonferenza a parte) con le bisettrici dei quadranti. Epperò se così non fosse, come si può determinare le loro direzioni, con un irrisorio spreco di calcoli?
Ad esempio con $ A(0,0) $ e $ B(1,0) $ sia $ P(-1,2) $. Le lunghezze dei semiassi sono $ a=3 $ e $ b=2 $ (le formule che hai trovato funzionano egregiamente), ma l'equazione dell'asse maggiore è $ y=2x $ e, naturalmente, quella dell'asse minore $ y=-1/2 x $, perché?
Ciao

[orsoulx]

"orsoulx":Mi pare, invece, interessante notare che qualsiasi sia il punto P, rigidamente solidale con A e B, questo descrive sempre un'ellisse: ellisse che diventa una circonferenza sse. P è il punto medio di AB; ellissi che possono degenerare in segmenti, quando...
La determinazione delle lunghezze degli assi e della distanza focale di queste ellissi è davvero elementare e non richiede la conoscenza dell'equazione del luogo. Individuare la direzione degli assi è, invece, meno semplice (di poco).

Se $ M $ è il punto medio di $ AB $, posto $ d=bar(AB) $ le lunghezze degli assi sono $ 2d+1 $ e $|2d-1| $. Punti che si trovano sulla medesima circonferenza di centro $ M $ descriveranno ellissi congruenti, quel che cambia è solo la direzione degli assi. L'asse maggiore che corrisponde all'allineamento di $ O, M, P $, con $ M $ compreso fra $ O $ e $ P $, formerà con l'asse delle ascisse un angolo di ampiezza metà di $ B hat(M) P $. Il perché non lo dico.
Esiste una macchina per disegnare ellissi (ellissografo a croce o di Proclo o di Archimede) che sfrutta questa proprietà.
Ciao