Generalizzare la versiera di Agnesi

[curie88]

Buon giorno, apprendisti della matematica, sicuramente siete a conoscenza della curva nota col nome di versiera di Agnesi.
Essa è ricavata, partendo da un cerchio. Tempo fa, invece, mi venne in mente di trovare l'equazione della versiera generalizzata,
a cui attribuisco il termine generalizzata, poiché anziché essere tangente al cerchio è tangente ad un'ellisse, che nel caso in cui abbia i semi assi uguali, diviene un cerchio, facendo degenerare la versiera generalizzata nella versiera di Agnesi a tutti(o almeno credo) conosciuta)

So che la versiera a tutti nota ha numerose proprietà, che purtroppo non sono riuscito ad approfondire; ma che tipo di proprietà aggiunge la sua generalizzata? Ammesso che le aggiunga.
È questo il punto che mi interessa maggiormente, poiché non so trovarvi risposta.

Lascio a voi il piacere o il semplice interesse di trovare la curva in questione generalizzata, in forma cartesiana, e ciò, almeno per me, non è stato affatto difficile.
L'ho scritta su qualche quaderno, ricordo che varia di poco, ed ha naturalmente un parametro in più, rispetto a quella nota.

Colgo l'occasione per augurarvi un felice anno nuovo, sperando che l'argomento susciti in voi qualche interesse.

Edit: ho modificato il post a causa di alcuni errori formali.

[killing_buddha]

Trovare l'equazione non è affatto difficile; un modo rapido è applicare al piano una omotetia che riscala gli assi $(1,1)$ (uguali) della circonferenza unitaria per renderli gli assi di un ellisse $(a,b)$. Sostanzialmente, se si prende come riferimento di partenza quello in cui la versiera ha equazione
\[y = \frac {8a^3}{x^2+4a^2}\]
adesso si deve operare la sostituzione $x=X, y=bY$, ottenendo perciò
\[ y = \frac {8a^3}{b(x^2+4a^2)} \]
Niente di complicato perciò. Per controllare se alcune proprietà o simmetrie vanno perdute, inizierei dal vedere se per caso le proprietà descritte qui https://it.wikipedia.org/wiki/Versiera#Propriet%C3%A0 sono conservate. Si tratta di fare un paio di integrali (che la mia religione mi vieta di eseguire).

[curie88]

Grazie, non ricordo come operai, ma penso diversamente, reimpostando i calcoli, e non nel modo che mi hai suggerito, che è più semplice e veloce.
Oltre a conservarle, chissà se ne aggiunge alcune...Saluti.

[killing_buddha]

Tutte le proprietà metriche vanno ovviamente perdute quando applichi una omotetia. Quelle topologiche sono molto banali. Prova a fare dei conti vedendo cosa siano curvatura, involuta, evoluta, evolvente, caustica, anticaustica, podale, antipodale, della versiera e della sua variante ellittica. Non mi aspetto nulla di sorprendente, ma se sei uno di quelli cui piace roba del genere...

[curie88]

Ho ritrovato il quaderno, non penso sia corretta l'equazione che hai postato, ho assegnato le due equazioni di partenza(del cerchio e dell' ellisse) nel modo che segue, ricavandone poi le associate versiere.

Se l'equazione del cerchio ha equazione:
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$

La versiera ha equazione:
$$ y = 8a^3/(x^2 + 4a^2) $$

Se invece si parte dall' equazione dell' ellisse:
$x^2/a^2 + (y - b)^2/b^2 = 1$

La versiera associata ha equazione:

$$ y = 8ba^2/(x^2 + 4a^2) $$

Infatti se $b=a$, l'equazione si riconduce esattamente alla eq. della versiera ottenuta dal cerchio.

Esempio grafico:

Per quanto riguarda le proprietà, proverò a seguire il tuo consiglio, ma temo di non avere ancora una sufficiente preparazione.

Saluti.

[curie88]

Una proprietà, quella della superficie compresa tra la curva e l'asse x, è conservata, è 4 volte quella dell' ellisse che la descrive, così come lo era per il cerchio.

[curie88]

"killing_buddha":Trovare l'equazione non è affatto difficile; un modo rapido è applicare al piano una omotetia che riscala gli assi $(1,1)$ (uguali)$

Il tuo nick è poco religioso, vedo, non ti so dire se la tua equazione sia corretta, ma ti posso assicurare che benché differente da quella trovata col procedimento normale, le curve si sovrappongono variando i parametri. Continuo a preferire quella trovata da me perché conserva l` equazione come cubica.