$\frac{x^n-y^n}{x^{n-1}-y^{n-1}}$ intero

[dan952]

Siano $x,y, n$ interi positivi, con $(x,y)=1$. Dimostrare che
$\frac{x^n-y^n}{x^{n-1}-y^{n-1}}$ è intero se e solo se $n=2$.

Hint:

$\frac{x^n-y^n}{x-y}-x\frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{x-y}=y^{n-1}$

[Zero87]

Anche qui ho un'idea, magari errata, ma ci provo.

Al tuo hint mi si è accesa una lampadina chiamata "induzione", solo che ha illuminato un angolo buio e non l'ho sfruttata...

Comunque per $n=2$ è immediato, per la stessa scomposizione del prodotto notevole che facciamo fin dalle medie.

Per $n>2$ ho che posso semplificare un $x-y$ e ottengo, sempre se ho scritto bene gli indici
$\frac{\sum_(k=0)^(n-1) x^k y^(n-1-k)}{\sum_(k=0)^(n-2) x^k y^(n-2-k)}$
e basta dimostrare che il numeratore non è un multiplo del denominatore.

Il punto è che il numeratore è di un grado maggiore del denominatore, quindi se conto con $N(x,y)$ il numeratore e $D(x,y)$ il denominatore (per non riscrivere sempre tutto), deve essere $N(x,y) = (ax+by)D(x,y)$ nel caso in cui il numeratore sia un multiplo del denominatore (ed essendoci solo un grado di differenza).
Nel numeratore i coefficienti di $x^n$ e $y^n$ sono pari a uno. Se provo a dividere con Ruffini contando $x$ come variabile, ci sono dei teoremi o dei corollari che mi dicono che $a$ e $b$ devono essere anch'essi uguali a $1$ quindi credo che resta da dimostrare che
$D(x,y)(x \pm y) = N(x,y)$

$x-y$ non è accettabile perché $D(x,y)(x-y)= x^(n-1)-y^(n-1)$.

Tenendo ferme due cose, ovvero:
- il mio prof. di analisi 1 e 2 (parlo degli anni 2007 e 2008) mi picchierebbe perché diceva sempre che «in matematica non si dimostrano cose con le chiacchiere»;
- non so se finora sono stato sensato nel discorso;
non ho idee per dimostrare che non va bene nemmeno $x+y$.

@dan: per l'altro problema ero arrivato anch'io alla tua scomposizione, ma non mi ha dato idee.

[axpgn]

Mi è venuta un'idea ...

$(x^n-y^n)/(x^(n-1)-y^(n-1))=(x^n-y^n)/(x-y)*(x-y)/(x^(n-1)-y^(n-1))$

Se $x$ e $y$ sono interi allora il fattore di sinistra è intero mentre quello di destra è l'inverso di un'intero e l'inverso di un intero è intero solo se è $1$ (o $-1$) ovvero solo nel caso di $n=2$.
Giusto?

Cordialmente, Alex

[dan952]

@axpgn

Non mi convince, ad esempio è possibile che

$10=\frac{100}{5} \cdot \frac{5}{10}=20 \cdot \frac{1}{2}$

@zero87
Non complicarti la vita.. basta una divisione. Per l'altro problema quando vale l'uguaglianza?

Quando
$x/2022+1=0$ oppure $2022x^2=-abc$
Sostituiamo a $x=-a,-b$ e $-c$...

[axpgn]

@dan
Infatti non è vero; al risveglio le cose son più chiare

[giammaria2]

Escludiamo $n=1$ perché il denominatore si annullerebbe.
Con $n=2$ il risultato è chiaramente l'intero $x+y$.
Per altri valori, semplificando la frazione per $(x-y)$ abbiamo

$(x^n-y^n)/(x^(n-1)-y^(n-1))=(x^(n-1)+x^(n-2)y+...+y^(n-1))/(x^(n-2)+x^(n-3)y+...+y^(n-2))=x+y^(n-1)/(x^(n-2)+x^(n-3)y+...+y^(n-2)$

Per avere un risultato intero il denominatore dell'ultima frazione deve essere un sottomultiplo del numeratore ma questo non può succedere perché $x$ è primo con $y$ e quindi numeratore e denominatore sono primi fra loro.

[dan952]

@giammaria
Ok!

[Zero87]

Ho quasi le lacrime agli occhi, la soluzione di giammaria (che saluto!) è così semplice ed elegante che mi vergogno non poco del sottoscritto.
Se penso a come ho affrontato il problema: praticamente per andare a Roma ho preso l'aereo e ho fatto il giro del mondo sperando atterrasse a destinazione...

[giammaria2]

Ricambio i saluti e ringrazio, ma non prendertela: come diceva un mio conoscente, niente è più facile di un problema risolto. Prima di trovare quella risposta, anch'io ho girovagato per il mondo in aereo.
Ripensandoci, noto che non ho esaminato il caso in cui il denominatore vale 1. Lo si esclude facilmente, ma per completezza avrei dovuto farlo.