Forse è un po' difficile ...
Il triangolo ABC [il vertice C forse non si vede ma..c'é
], rettangolo in A, ha i cateti come segue :$bar{AB}=18, \bar{AC}=24$
Dette P,Q,R le proiezioni ortogonali del baricentro G di ABC rispettivamente sui lati AB,BC,AC, si calcoli l'area
della superficie di PQR.
N.B. Per un imperdonabile errore nella traccia originaria avevo scritto :"Si calcoli l'area della superficie di ABC" !!!
Risposte
Per via puramente sintetica invece, si tracci la mediana $AM$, che sarà lunga la metà dell'ipotenusa, quindi $AM = 15$.
Il baricentro $G$ divide $AM$ in modo che $AG = 2 GM$.
Inoltre $APGR$ è un rettangolo, quindi le sue diagonali si bisecano (sia S il loro punto d'intersezione), segue che:
$AS = SG = GM = 5$, $PR = 10 = 1/3 BC$
I triangoli $ASP$ e $AMG$ sono entrambi isosceli e con un angolo in comune, pertanto sono simili. Da questa similitudine discende anche la similitudine tra i triangoli $APR = PGR$ e $ABC$ (rapporto di similitudine $1/3$), e il parallelismo tra $PR$ e $BC$.
Sia $AH$ l'altezza di $ABC$ relativa all'ipotenusa, $AK$ l'altezza di $APR$.
L'altezza del triangolo $PQR$ rispetto alla base $PR$ è $AH - AK = 2/3 AH$.
Calcolando l'area di $ABC$ a partire dai cateti, raddoppiando e dividendo per l'ipotenusa si ottiene la lunghezza di $AH$:
$AH = (24*18)/(30) = (72)/5$
Dunque
$area(PQR) = (1/2)*10*((72)/5)*(2/3) = 48$
P.s.: non ho controllato la soluzione analitica, ma penso ci sia un errore nei calcoli.
Il baricentro $G$ divide $AM$ in modo che $AG = 2 GM$.
Inoltre $APGR$ è un rettangolo, quindi le sue diagonali si bisecano (sia S il loro punto d'intersezione), segue che:
$AS = SG = GM = 5$, $PR = 10 = 1/3 BC$
I triangoli $ASP$ e $AMG$ sono entrambi isosceli e con un angolo in comune, pertanto sono simili. Da questa similitudine discende anche la similitudine tra i triangoli $APR = PGR$ e $ABC$ (rapporto di similitudine $1/3$), e il parallelismo tra $PR$ e $BC$.
Sia $AH$ l'altezza di $ABC$ relativa all'ipotenusa, $AK$ l'altezza di $APR$.
L'altezza del triangolo $PQR$ rispetto alla base $PR$ è $AH - AK = 2/3 AH$.
Calcolando l'area di $ABC$ a partire dai cateti, raddoppiando e dividendo per l'ipotenusa si ottiene la lunghezza di $AH$:
$AH = (24*18)/(30) = (72)/5$
Dunque
$area(PQR) = (1/2)*10*((72)/5)*(2/3) = 48$
P.s.: non ho controllato la soluzione analitica, ma penso ci sia un errore nei calcoli.
Se il triangolo è rettangolo, l'area cercata è sempre i $ 2/9 $ di quella dell'intero triangolo.
Ciao
Ciao
Belle soluzioni.
Se volete vi propongo una generalizzazione ( da cui poi si può far discendere la soluzione di orsoulk).
Dimostrare che l'area della superficie di PQR, nel caso di un triangolo ABC qualunque, è data dalla formula:
$Area[PQR]=4/9\cdot (Area[ABC])^3\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2b^2c^2}$
essendo $a,b,c$ le misure dei lati di ABC.
Se volete vi propongo una generalizzazione ( da cui poi si può far discendere la soluzione di orsoulk).
Dimostrare che l'area della superficie di PQR, nel caso di un triangolo ABC qualunque, è data dalla formula:
$Area[PQR]=4/9\cdot (Area[ABC])^3\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2b^2c^2}$
essendo $a,b,c$ le misure dei lati di ABC.
"alfredo4":Direi che «forse è un po' [troppo] facile»
Faccio finta d'essere un ragazzino di 1ª istituto tecnico che ha studiato il baricentro in meccanica; ed in particolare dove sta il baricentro d'un triangolo (pensato come un sottilissimo lamierino omogeneo e di spessore uniforme).
Quindi so che:
$\bar[AR] = \bar[PG] = \bar[AC]/3 = 8$; $\bar[AP] = \bar[RG] = \bar[AB]/3 = 6$;
e di conseguenza $\bar[PR] = 30/3 = 10$.
Sempre di conseguenza, l'altezza di $PQR$ relativa a $PR$ è (2/3) dell'altezza di $ABC$ relativa a $BC$.
Quest'ultima è $18·24/30 = 14,4$.
L'altezza di $PQR$ relativa a $PR$ è allora $(2/3)·14,4 = 9,6$.
L'area richiesta è dunque $(10·9,6)/2 = 48$.
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Per un triangolo rettangolo $ABC$ di forma qualsiasi e rettangolo in $A$ , sempre il baricentro dista da un cateto un terzo dell'altro cateto e quindi sempre $\bar[PR]$ è parallelo all'ipotenusa $BC$ e lungo $(1/3 )·\bar[BC]$.
E sempre l'altezza di $PQR$ relativa a $PR$ è 2/3 dell'altezza di $ABC$ relativa all'ipotenusa $BC$.
Quindi in ogni triangolo rettangolo $ABC$, dette $P$, $Q$ ed $R$ le proiezioni ortogonali del baricentro sui lati di $ABC$, l'area del triangolo $PQR$ è $(1/3)·(2/3) = 2/9$ dell'area di $ABC$ (come dice orsoulx).
––––
"alfredo4":
Dimostrare che l'area della superficie di PQR, nel caso di un triangolo ABC qualunque, è data dalla formula:
$Area[PQR]=4/9\cdot (Area[ABC])^3\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2b^2c^2}$
essendo $a,b,c$ le misure dei lati di ABC.
[ot]Meno cervellotico di quanto mi era sembrato a prima vista[/ot]
Tracciando le mediane e le altezze del triangolo $ABC$, attraverso dei triangoli simili, si trova che:
$GQ = 1/3 h_a$, essendo $h_a$ l'altezza di vertice $A$, con piede sul lato $a$
$GR = 1/3 h_b$
$GP = 1/3 h_c$
L'area del triangolo $PQR$ è la somma delle aree di tre triangoli:
$Area[PQR] = 1/2 (h_a)/3 (h_b)/3 \sin{\pi - \gamma} + 1/2 (h_b)/3 (h_c)/3 \sin{\pi - \alpha} + 1/2 (h_c)/3 (h_a)/3 \sin{\pi - \beta} $
$Area[PQR] = 1/2 (h_a)/3 (h_b)/3 \sin{\gamma} + 1/2 (h_b)/3 (h_c)/3 \sin{\alpha} + 1/2 (h_c)/3 (h_a)/3 \sin{\beta} $
Invertendo le formule per l'area del triangolo $ABC$ come metà di base per altezza:
$h_a = \frac{ 2 Area[ABC]}{a}$
$h_b = \frac{ 2 Area[ABC]}{b}$
$h_c = \frac{ 2 Area[ABC]}{c}$
Sostituendo nell'equazione precedente:
$Area[PQR] = 1/2 4/9 Area[ABC]^2 [ \frac{\sin{\gamma}}{ab} + \frac{\sin{\beta}}{ca} + \frac{\sin{\alpha}}{bc} ]$
Altri modi in cui si può calcolare l'area di $ABC$ sono:
$Area[ABC] = 1/2 ab \sin{\gamma} = 1/2 bc \sin{\alpha} = 1/2 ca \sin{\beta}$
Invertendo queste relazioni per ricavare i seni degli angoli e sostituendo nell' equazione precedente, si ottiene:
$Area[PQR] = 1/2 4/9 Area[ABC]^2 * 2 Area[ABC] [ \frac{1}{a^2 b^2} + \frac{1}{c^2 a^2} + \frac{1}{b^2 c^2} ]$
$Area[PQR] = 4/9 Area[ABC]^3 \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2b^2c^2}$
CVD
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