Formule polinomiali per numeri primi

[Cantor99]

Esistono funzioni polinomiale che generano molti numeri primi, come ad esempio la formula $x^2+x+41$, trovata da Eulero, che trova primi per $0,1,2,...,28$ e quella di Legendre $2x^2+29$ che trova anch'essa primi per $0,...,28$.

Purtroppo si può mostrare che se per $x=m$ si ottiene un primo $p$, per $x=p+m$ si ottiene un numero composto: dunque l'idea di una polinomiale che genera solo primi è completamente errata.

La mia domanda è: si può costruire una formula polinomiale fatta in modo che si possano ottenere un numero fissato $N$ di numeri primi per i primi $k$ valori interi?

(P.S. non so se è vero o meno che il numero di primi della formula di Legendre o di Eulero sono infiniti)

[anto_zoolander]

Beh in teoria scegliendo un polinomio $P(x)=sum_(n=0)^(k)a_n x^n$ e siano $p_0,...,p_k$ numeri primi

${(P(x)=sum_(n=0)^(k)a_n x^n),(P(0)=p_0),( : ),(P(k)=p_k):}$ da cui ricavi gli $a_j$

[killing_buddha]

che tra l'altro sono anche facili da trovare perché $a_i=p_i-p_{i-1}$...

[anto_zoolander]

sicuro killing?
Ho calcolato il polinomio che mi da in sequenza $2,3,5,7$ ed è

$P(x)=-1/6x^3+x^2+1/6x+2$

Nota che il sistema $P(t)=p_t$ per $t=0,...,k$ è tale per cui
$sum_(n=0)^(k)a_n t^n=p_t,forallt=0,...,k$

Si riduce ad un sistema lineare $k times k$ dove la matrice del sistema sarà se non sbaglio

$((0,0,...,1),(1,1,...,1),(1,2,...,2^k),( : , : , ... , : ),(1,k,...,k^k))$

e dimostrando che tale matrice ha sempre determinante non nullo, si può arrivare al fatto che dati $p_0,...,p_k$ primi esiste sempre un polinomio $P$ di grado al più $k$ per cui $P(t)=p_t,forallt=0,...,k$

[Cantor99]

Questo metodo mi piace molto e mi ha soddisfatto!

E se aggiungessi la clausola che i termini $a_0,...,a_n$ sono interi?

[anto_zoolander]

Non so se porre il problema in: dati $p_0,...,p_n$ primi consecutivi dire se esiste un polinomio $P(x)=sum_(k=1)^(n)a_kx^k$ tale che esista un intero positivo $N inNN$ per cui $P(N+j)=p_j,forallj=0,..,n$ e $a_j inZZ,forallj=0,..,n$