Fattorizzazione

[axpgn]

È un teorema fondamentale dell'Aritmetica quello che afferma che un numero naturale può essere scomposto in fattori primi in un unico modo (se tralasciamo l'ordine dei fattori).

Consideriamo l'insieme $S_1={4, 7, 10, ..., 3k+1, ...}$ con $k=1, 2, ..., n, ...$
Anche per l'insieme $S_1$ vale la "fattorizzazione unica"?
E invece nell'insieme $S_2={3, 4, 5, ..., k, ...}$?


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Cosa intendi con la domanda "Anche per l'insieme S1 vale la "fattorizzazione unica"?" ? Che per ogni elemento dell'insieme S1 vale la fattorizzazione unica? Se questa è la domanda, ovviamente la risposta è sì, anche per S2, ma immagino appunto di aver frainteso cosa stai chiedendo

[axpgn]

Pensavo fosse chiaro ovvero se vale per gli insiemi $S_1$ e $S_2$ un teorema analogo a quello fondamentale dell'Aritmetica che vale per i numeri naturali.
Detto in altro modo: i numeri appartenenti agli insiemi $S_1$ e $S_2$ possono essere scomposti in fattori primi in un unico modo (ordine escluso)?


Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Per capire, in $S_1$ il numero $10$ è primo perché non si può scrivere propriamente come prodotto di elementi di $S_1$, è questo che intendi?

[axpgn]

@Martino

Sì, mi sembrava ovvio, come vorresti scomporre il $10$? Il $2$ e il $5$ non ci sono ...

Spoiler, please

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Per $S_1$ abbiamo $55*391 = 85*253$, e i fattori sono tutti $S_1$-primi perché $55=5*11$, $391=17*23$, $85=5*17$, $253=11*23$ (nessuno di essi è un prodotto di almeno 2 elementi di $S_1$). Per $S_2$ abbiamo $5*6 = 3*10$ e sono tutti $S_2$-primi (nessuno di essi è un prodotto di almeno 2 elementi di $S_2$). Quindi la risposta è no in entrambi i casi.

[axpgn]

Perfect!

Per $S_1$ bastava meno, $4 xx 25 = 10 xx 10$, pure un quadrato

Peraltro, la cosa carina è che l'unicità della scomposizione in fattori primi sembra un fatto così scontato da farlo pensare come ovvio ed invece ...

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Pensa che esistono domini di integrità in cui non esistono elementi irriducibili, per esempio l'anello $A$ degli interi algebrici (gli elementi di $CC$ che sono radici di un polinomio monico a coefficienti interi) non ha elementi irriducibili, infatti se $alpha in A$ (non invertibile) allora $alpha$ è radice di un certo $P(X) in ZZ[X]$ monico, ora [tex]\beta = \sqrt{\alpha}[/tex] è radice di $P(X^2)$, che è pure monico e in $ZZ[X]$, e quindi [tex]\beta \in A[/tex] e di conseguenza [tex]\alpha = \beta^2[/tex] non è irriducibile in $A$ Poi ovviamente esistono domini di integrità in cui ogni elemento è prodotto di irriducibili ma non vale la fattorizzazione unica, come $ZZ[i sqrt(5)]$, in cui succede che $2*3 = 6 = (1+i sqrt(5))*(1-i sqrt(5))$ (sto facendo esempi classici).

[axpgn]

Vabbeh, non esagerare, siamo pur sempre nella sezione delle superiori e stai parlando con un comune mortale

Cordialmente, Alex