$f(a+f(b)) = f(a)-b$ sugli interi

[Gi81]

Trovare tutte le funzioni $f: ZZ -> ZZ$ tali che per ogni $a,b in ZZ$ si abbia $f(a+f(b)) = f(a)-b$.

[dan952]

Non mi pare ci siano...confermi?

[Vincent46]

Ci provo.

Non ne esistono.

Supponiamo che $b$ sia uno zero di $f$. Allora otteniamo

$$f(a)=f(a)-b$$

cioé l'unico zero possibile per $f$ è $b=0$. Ora fissiamo $a$ e prendiamo $b=f(a)$:

$$f[a+f(f(a))]=0$$

cioé $a+f(f(a))$ è uno zero di $f$, perciò deduciamo che $f(f(a))=-a$ per ogni $a$. In particolare $f \circ f$ è una biezione, quindi $f$ lo è.

Ora, considerando $a=x, b=f^{-1}(y)$, si ottiene

$$f(x+y)=f(x)-f^{-1}(y)$$

ma, poiché, $f^{-1}(y)=-f (y)$ (basta applicare $f$ due volte e ricordare che $f \circ f = -Id$)

$$f(x+y)=f(x)+f(y).$$

Ora, siccome, per $m, n$ naturali,

$$f(n)=n f(1), \ f(-m) = mf(-1)$$

si distinguono due casi, da cui troviamo un assurdo ricordando che $f \circ f = -Id$, e in particolare $(f \circ f)(1) = -1$:

$1.$ Se $f(1) >0$ o $f(-1)<0$, allora $f(n)>0$, $f(-n)<0$ per qualsiasi $n$ naturale. Supponendo ad esempio che valga la prima delle due condizioni, si ha un assurdo con $f(f(1))=-1$

$2.$ Se $f(1)<0$ e $f(-1)>0$, si ha che tutti i positivi vengono mappati in negativi e viceversa, assurdo perché, da $f \circ f(1) = -1$, deduciamo che $1$ viene mappato in un negativo che dev'essere a sua volta mappato in $-1$.

[dan952]

La mia è leggermente diversa da quella di Vincent

Step 1. $f(0)=0$
Infatti poiché $f(a+f(0))=f(a)$ e $f(f(b))=f(0)-b$ si ha $f(f(b))=f(f(b+f(0))=f(0)-b=-b$ da cui segue $f(0)=0$.
Step 2. $f(f(1))=-1$
$f(0+f(1))=f(0)-1=-1$
Step 3. $f(a-1)=f(a)-f(1)$
$f(a+f(f(1)))=f(a-1)=f(a)-f(1)$
Step 4. $f(n)=f(1)n$ con $n \in NN$
Per induzione, infatti $f(2)=2f(1)$, supponiamo valga per $f(n-1)=f(1)(n-1)$ sommando $f(1)$ si ottiene $f(n)=nf(1)$.
Step 5. $f(a)=ca$ con $a \in ZZ$ e $c=f(1)$
Poiché $f(-1)=-f(1)$ ragionando con $n<0$ come prima (per induzione) si ottiene la tesi.
Dunque $f(a+f(b))=ca+c^2b=f(a)-b=ca-b$ da cui $c^2=-1$, che non ammette soluzione in $ZZ$