\( f: \mathbb{Z} \to \{ 1,2,3 \}\)

[Gi81]

Dimostrare che non esistono funzioni \( f: \mathbb{Z} \to \{ 1,2,3 \}\) tali che \(|x-y | \in \{2,3,5\} \implies f(x) \neq f(y) \)

[adaBTTLS1]

io lo prendo come gioco, poi se qualcuno vuole formalizzare ... si accomodi.

supponiamo p. a. che una tale funzione esista.
allora $f(0)$ assume uno dei tre valori; $-5, -3, -2, +2, +3, +5$ devono avere immagine diversa da $f(0)$;
ma anche $f(3)$ è diversa sia da $f(5)$ sia da $f(-2)$.
senza perdere di generalità, possiamo scrivere $f(0)=1, f(-2)=2, f(3)=3$.
dai passi precedenti dovrebbe essere $f(5)=2, f(-3)=3$,
$f(-5)=?$ non può essere né $f(0)$ né $f(-2)$ né $f(-3)$

[Gi81]

Sì, direi che va bene
Ora propongo un rilancio:
esistono funzioni da $ZZ$ in ${1,2,3}$ tali che $|x-y| in {2,3} => f(x)!= f(y)$?

[adaBTTLS1]

in questo caso penso di sì. credo di averne trovata almeno una.

considero classi resto modulo 6 ...
due numeri interi hanno la stessa immagine (al esempio 1) se sono congrui a 0 oppure 1 modulo 6;
due numeri interi hanno la stessa immagine (al esempio 2) se sono congrui a 2 oppure 3 modulo 6;
due numeri interi hanno la stessa immagine (al esempio 3) se sono congrui a 4 oppure 5 modulo 6.
va bene come esempio?

[Gi81]

Sì, mi sembra corretta!

[adaBTTLS1]

grazie.
una curiosità: sono esercizi presi da qualche "categoria particolare", sono tuoi creati di getto, oppure sono "work in progress"?

[Gi81]

E' un esercizio che ho trovato su artofproblemsolving.com (il rilancio è opera mia)

[Erasmus_First]

"adaBTTLS":Supponiamo p. a. che una tale funzione esista. Allora $f(0)$ assume uno dei tre valori.
$-5, -3, -2, +2, +3, +5$ devono avere immagine diversa da $f(0)$;

Perché? Questa non l'ho capita.
[NB: nel seguito indico con "j" l'unità immaginaria].
Perché in ognuno dei 6 punti
$z_1 = –5+j0$; $z_2 = 5+j0$; $z_3 = –3+j0$; $z_4 = 3+j0$; $z_5 = –2+j0$; $z_6 = 2+j0$
la funzione deve essere diversa da $f(0 + j0)$?
Non potrebbe, per esempio, assumere il valore f(0+i0) in qualcuno di quei 6 punti (e negli altri no)?

_______

[Gi81]

@Erasmus_First:

(non capisco perché scomodi l'unità immaginaria. qui si sta parlando di numeri reali, anzi di interi)
con le tue notazioni, per ogni $k in {1,2,3,4,5,6}$
si ha $|z_k - z_0 | in {2,3,5}$, dunque per ipotesi si ha $f(z_k)!= f(z_0)$

[Erasmus_First]

"Gi8":@Erasmus_First:
Non capisco perché scomodi l'unità immaginaria. Qui si sta parlando di numeri reali, anzi di interi.

Oops!
Hai ragione!
Sbadatamente, ho preso $ZZ$ come fosse $CC$,... probabilmente deragliato dall'aver letto $x$ ed $y$ come se la variabile indipendente fosse $z = x + jy$.
[Altrove dicevo che la vecchia tira brutti scherzi ... e che a volte mi sento "da rottamare" ]
_______

[adaBTTLS1]

Grazie, "Giotto"!

@ "Erasmo":
dopo il chiarimento sul contesto, è chiarito il dubbio sulla mia frase?