\( f \left(m + f(n) \right) = f(m) - n \) sugli interi

[Gi81]

Dimostrare che non esistono funzioni $f: ZZ -> ZZ$ tali che per ogni $m,n in ZZ$ si abbia
\[
f \left(m + f(n) \right) = f(m) - n
\]

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Supponiamo per assurdo che esista una tale funzione \(f\).
E supponiamo per assurdo che \( f(0) \neq 0 \). Sia allora \(f(0) = x \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} \). In tal caso abbiamo che
\[ f(m+f(0)) = f(m) \]
da cui risulta che
\[ f(m+x) = f(m) \]
allora per ricorrenza abbiamo che per ogni \( n,m \in \mathbb{Z} \) abbiamo che
\[ f(m+nx)=f(m) \]
poiché
\[ f(m+(n-1)x+ x ) = f(m+(n-1)x)= \ldots = f(m) \]
da cui segue che \( \operatorname{Im} f \subseteq \{ n_1,\ldots,n_x \} \), per qualche \( n_1, \ldots, n_x \in \mathbb{Z} \). Da cui segue che per ogni \(n,m \in \mathbb{Z} \)
\[ f(m+f(n)) \in \{ n_1,\ldots,n_x \} \]
ma fissato \(m \in \mathbb{Z} \) arbitrario e presi \(x+1\) interi distinti: \( y_1,\ldots,y_{x},y_{x+1} \in \mathbb{Z} \) allora chiaramente per ogni \( 1 \leq i \neq j \leq x+1 \) risulta che
\[ f(m) - y_j \neq f(m)- y_i \]
troviamo un assurdo con il principio dei piccioni.
Abbiamo dunque che \( f(0) = 0 \). Da cui risulta che
\[ f(0+f(n))= f(f(n))=-n \]
e chiaramente abbiamo che
\[ f(0+f(f(-n))) + f(-n) = f(0) \]
da cui
\[ f(n) + f(-n) = 0 \]
abbiamo inoltre
\[ f(1) = f(1+f(f(-1)) ) + f(-1) = f(2) + f(-1) \]
da cui
\[ 0=f(1) + f(-1) = f(2) + 2 f(-1) \]
pertanto
\[ f(2) = 2 f(1) \]
e pertanto
\[ f(-2) = -2f(1) \]
In modo analogo abbiamo che
\[ f(2) = f(2 + f(f(-1)) ) + f(-1) \]
da cui
\[ f(2) = f(3) + f(-1) \]
pertanto risulta che
\[ 0= f(2) + f(-2) = f(3) + f(-1) + f(-2) = f(3) + 3f(-1) \]
da cui
\[ f(3) = 3 f(1) \]
per ricorrenza risulta dunque che per ogni \(n \in \mathbb{Z} \) risulta che
\[ f(n) = n f(1) \]
Chiaramente \( f(1) \neq 0 \) altrimenti abbiamo un assurdo, infatti se fosse \( f(1) = 0 \) avremmo per ogni \(n \)
\[ f(m+f(n)) = (m+f(n)) f(1) = 0 = f(m) - n = -n \]
Supponiamo dunque \( f(1) = x \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} \) abbiamo per ogni \(m \)
\[ f(m+f(1)) = f(m)-1 \]
\[ \Leftrightarrow (m+x)x = mx -1 \]
\[ \Leftrightarrow mx + x^2 - mx = -1 \]
\[ \Leftrightarrow x^2 = - 1 \]
ma allora \( f(1) \in \{-i, i\} \), assurdo poiché abbiamo supposto \( f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \).