[EX] Rette nel piano
1. Date tre rette nel piano, qual è il massimo numero di parti in cui esse dividono il piano?
2. Date quattro rette nel piano, qual è il massimo numero di parti in cui esse dividono il piano?
2. Date quattro rette nel piano, qual è il massimo numero di parti in cui esse dividono il piano?
Risposte
Si tratta del classico problema di Steiner : qual è il numero massimo \( L_n\) di regioni definite da \( n \) rette nel piano ?
\(\displaystyle L_n=\frac{n(n+1)}{2}+1\)
\(\displaystyle L_n=\frac{n(n+1)}{2}+1\)
@ totissimus: I ragazzi delle superiori sentitamente ringraziano per aver tolto loro il divertimento di scoprirlo da soli.
Chiedo profondamente e umilmente scusa per la mia imperdonabile sbadataggine, ma non mi ero accorto che si trattava di una sezione dedicata alle superiori.
@totissimus: sei il solito sbadato, hai sempre la testa tra le nuvole! fai più attenzione la prossima volta.
Comunque invito i ragazzi delle superiori a dimostrare le formula, anche limitatamente agli $n$ proposti: la risposta di totissimus può essere considerata come la soluzione finale, pubblicata dal loro libro dopo ogni esercizio.
Avevo anche pensato di togliere il nome del problema ma non mi piace modificare un post altrui; inoltre qualcuno l'aveva certo già letto e ne sarebbe stato avvantaggiato.
Avevo anche pensato di togliere il nome del problema ma non mi piace modificare un post altrui; inoltre qualcuno l'aveva certo già letto e ne sarebbe stato avvantaggiato.
Magari contiamo anche quante sono le regioni limitate.
Nessun ragazz* delle scuole superiori ci vuole provare?
Io ho già in mente un rilancio, ma aspetto
Io ho già in mente un rilancio, ma aspetto
Suggerimento:
@Gugo.
Sbaglio o potrebbe essere un buon esempio per una sorta d'introduzione implicita,
svolta in una maniera che stimoli la curiosità degli allievi,del procedimento di verifica per induzione?
La forza didattica della Geometria è pure questa:
i ragazzi cui non vengono subito "naturali" certe astrazioni della Matematica mettono generalmente più "grinta" nei problemi "visualizzabili"
(presumibilmente perché soddisfano l'esigenza di "soddisfacente confronto immediato" ereditato dall'eccesso di input che,per via dell'uso che fanno della rete in troppi campi,son troppo abituati a considerare scontato..),
e non mollano alle prime difficoltà quando questi ultimi costringono a scavare più a fondo..
Saluti dal web.
Sbaglio o potrebbe essere un buon esempio per una sorta d'introduzione implicita,
svolta in una maniera che stimoli la curiosità degli allievi,del procedimento di verifica per induzione?
La forza didattica della Geometria è pure questa:
i ragazzi cui non vengono subito "naturali" certe astrazioni della Matematica mettono generalmente più "grinta" nei problemi "visualizzabili"
(presumibilmente perché soddisfano l'esigenza di "soddisfacente confronto immediato" ereditato dall'eccesso di input che,per via dell'uso che fanno della rete in troppi campi,son troppo abituati a considerare scontato..),
e non mollano alle prime difficoltà quando questi ultimi costringono a scavare più a fondo..
Saluti dal web.
Secondo me in giochi matematici sarebbe stato attaccato prima! 
@theras: L'idea era quella che un problema di Geometria fosse interessante per i ragazzi delle superiori, perché non hanno a disposizione grossi strumenti analitici.
Noto, tuttavia, che pur essendo stato visualizzato più volte l'argomento non ha avuto un grosso riscontro.
Si vede che i ragazzini hanno altro a cui pensare... Per non parlare dei loro insegnanti.
@ xXStephXx: Questo è un problema abbastanza serio, didatticamente parlando; non vedo perché avrei dovuto postarlo in Giochi.
Noto, tuttavia, che pur essendo stato visualizzato più volte l'argomento non ha avuto un grosso riscontro.
Si vede che i ragazzini hanno altro a cui pensare... Per non parlare dei loro insegnanti.
@ xXStephXx: Questo è un problema abbastanza serio, didatticamente parlando; non vedo perché avrei dovuto postarlo in Giochi.
"gugo82":
Si vede che i ragazzini hanno altro a cui pensare... Per non parlare dei loro insegnanti.
Prendersela con gli insegnanti è diventato ormai un vero sport nazionale !
[OT]
Prendersela con gli insegnanti è diventato ormai un vero sport nazionale ![/quote]
Non me la sto prendendo con nessuno.
Sto semplicemente constatando un dato di fatto: tra studenti e docenti delle superiori che frequentano il foro, nessuno ha messo bocca qui.
Sulle cause di questo fatto, hypotheses non fingo; quindi mi sono limitato a dire che entrambi sono presi da altri (e probabilmente più immediati) pensieri.
[/OT]
"totissimus":
[quote="gugo82"]Si vede che i ragazzini hanno altro a cui pensare... Per non parlare dei loro insegnanti.
Prendersela con gli insegnanti è diventato ormai un vero sport nazionale ![/quote]
Non me la sto prendendo con nessuno.
Sto semplicemente constatando un dato di fatto: tra studenti e docenti delle superiori che frequentano il foro, nessuno ha messo bocca qui.
Sulle cause di questo fatto, hypotheses non fingo; quindi mi sono limitato a dire che entrambi sono presi da altri (e probabilmente più immediati) pensieri.
[/OT]
Dimostriamo per induzione che il numero massimo di regioni definite da n rette nel piano è $L_n=(n(n+1))/2+1$. Prendiamo $n=p$. Per $p=1$ abbiamo $L_1=2$, e il passo base è così verificato. Ora cerchiamo il passo iduttivo. Osserviamo che $L_1=2, L_2=4, L_3=7, L_4=11, ...$ e che $L_2-L_1=2, L_3-L_2=3, L_4-L_3=4$ e in generale $L_(p+1)-L_p=p+1$. Se riusciamo a dimostrare questa proposizione abbiamo trovato il passo induttivo per dimostrare $L_n$. Infatti da quella proposizione discende che $L_(p+1)=L_p+(p+1)$.
Per dimostrare che $L_(p+1)-L_p=p+1$, ovvero che la differenza tra il numero massimo di regioni di piano definite da $p+1$ rette e il numero massimo di regioni definite da $p$ rette è uguale al numero $p+1$ di rette, osserviamo che una retta divide un piano in due regioni, quindi per ogni regione di piano attraversato da una retta avremo definita una regione in più. Allora, dato un piano con $p$ rette diviso in $k$ regioni, cerchiamo il numero massimo di regioni che attraversa la retta ( \(p+1)\ \text{esima}\) aggiunta al piano e avremo trovato $L_(p+1)-L_p$.
La retta ( \(p+1)\ \text{esima}\) intersecherà le altre $p$ rette in al massimo $p$ punti, e attraverserà una regione di piano per ogni coppia di punti dai quali passa; inoltre ci saranno $2$ punti, i "primi" dai quali passa, che definiranno due ulteriori regioni di piano. Dato quindi l'insieme $A={a_1, a_2, ..., a_(p-1), a_p}$ dei punti per i quali passa la retta ( \(p+1)\ \text{esima}\), contiamo quante sono le coppie del tipo $(a_n, a_(n+1))$. Le coppie in questione sono $p-1$ e quindi il numero massimo di regioni di piano che attraversa la retta è $(p-1)+2=p+1$.
Verifichiamo ora il passo induttivo:
$L_(p+1)=L_p+(p+1)=(p(p+1))/2+1+(p+1)=((p+1)(p+2))/2+1$ che è la $L_n$ nel caso in cui $n=p+1$.
Per dimostrare che $L_(p+1)-L_p=p+1$, ovvero che la differenza tra il numero massimo di regioni di piano definite da $p+1$ rette e il numero massimo di regioni definite da $p$ rette è uguale al numero $p+1$ di rette, osserviamo che una retta divide un piano in due regioni, quindi per ogni regione di piano attraversato da una retta avremo definita una regione in più. Allora, dato un piano con $p$ rette diviso in $k$ regioni, cerchiamo il numero massimo di regioni che attraversa la retta ( \(p+1)\ \text{esima}\) aggiunta al piano e avremo trovato $L_(p+1)-L_p$.
La retta ( \(p+1)\ \text{esima}\) intersecherà le altre $p$ rette in al massimo $p$ punti, e attraverserà una regione di piano per ogni coppia di punti dai quali passa; inoltre ci saranno $2$ punti, i "primi" dai quali passa, che definiranno due ulteriori regioni di piano. Dato quindi l'insieme $A={a_1, a_2, ..., a_(p-1), a_p}$ dei punti per i quali passa la retta ( \(p+1)\ \text{esima}\), contiamo quante sono le coppie del tipo $(a_n, a_(n+1))$. Le coppie in questione sono $p-1$ e quindi il numero massimo di regioni di piano che attraversa la retta è $(p-1)+2=p+1$.
Verifichiamo ora il passo induttivo:
$L_(p+1)=L_p+(p+1)=(p(p+1))/2+1+(p+1)=((p+1)(p+2))/2+1$ che è la $L_n$ nel caso in cui $n=p+1$.
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