Esponente esponenziale

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axpgn
axpgn
11 set 2018, 00:23
Anni fa, in una gara matematica, fu dato questo problema:

[size=200]$x^(x^(x^(.^(.^.))))=2$[/size]


La soluzione "ufficiale" sottolineava il fatto che l'esponente della $x$ di base era uguale all'intera espressione perciò $x^2=2$ da cui $x=sqrt(2)$.

Uno studente fece però osservare che anche [size=200]$x^(x^(x^(.^(.^.))))=4$[/size] forniva la stessa soluzione (cioè $x=sqrt(2)$).

....mmmm.... ma allora quanto vale [size=200]$sqrt(2)^(sqrt(2)^(sqrt(2)^(.^(.^.))))=?$[/size]

Cordialmente, Alex

P.S.: non è una richiesta di aiuto, conosco la risposta ed anche un modo per arrivarci :D
Risposte
Erasmus_First
Erasmus_First
11 set 2018, 02:55
"axpgn":
quanto vale [size=200]$sqrt(2)^(sqrt(2)^(sqrt(2)^(.^(.^.))))=?$[/size]
Vale 2.
Forse sarebbe megliio diire che la successione ${a_n}$ così definita [per ricorrenza].
$a_0 = sqrt2$; $∀n ∈ NN$ $a_(n+1) = sqrt2^ (a_n)$
al tendere di n all'infinito tende a 2.
Ma proviamo a pensare a quest'altra successione: $a_0 =2$; $∀n ∈ NN$ $a_(n+1) = sqrt2^ (a_n)$.
Questa vale 2 per ogni indice! [ $∀n ∈ NN$ $a_n = 2$ ].
[size=120]$sqrt2^2 = 2$; $sqrt2^(sqrt2^2) = 2$: $sqrt2^(sqrt2^(sqrt2^2)) = 2$; ...[/size]
Invece quest'altra: $a_0 =4$; $∀n ∈ NN$ $a_(n+1) = sqrt2^ (a_n)$
vale costantemente 4. [ $∀n ∈ NN$ $a_n = 4$ ]
[size=120]$sqrt2^4 = 4$; $sqrt2^(sqrt2^4) = 4$: $sqrt2^(sqrt2^(sqrt2^4)) = 4$; ...[/size]
Insomma: se una pila [indentata] arbitrariamente numerosa di esponenti tutti uguali a √(2) ha in cima l'esponente 2 il risultato è sempre 2; ma se la stessa pila ha in cima l'esponente 4 il risultato è sempre 4.
Siccome lesponente "neutro" è 1 [nel senso che per ogni x succede x^1 = x], possiamo immaginare che la pila di esponenti tutti uguali a √(2) abbia in cima l'esponente 1. Allora il risultato dipende dal numero di esponenti, cresce con questo numero, è sempre inferiore a 2 e tende a 2 al tendere all'infinito del numero di esponenti.
√(2) ≈ 1,4142; √(2) ^ √(2) ≈ 1,6325; √(2) ^[√(2) ^√(2)] ≈1,708; √(2) ^{√(2) ^[√(2)^√(2)]} ≈ 1,8409 ...
_________

axpgn
axpgn
11 set 2018, 12:25
Ti sei dimenticato lo spoiler …

Comunque, sostanzialmente sì … :D

Ecco la mia …




Cordialmente, Alex
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