"cr02086":
Il contratto di un mutuo di 6.000 euro stipulato a tasso fisso prevede il rimborso in tre rate semestrali di 2.100 euro. La prima rata deve essere versata dopo un anno. Stilare il piano di ammortamento.
Non so che cos'è il "piano di ammortamento". Ma anticamente (quasi 50 anni fa) un mio amico bancario mi ha spiegato come si calcolano le rate di un mutuo a tasso d'interesse fisso e a scadenza periodica.
Nel tuo caso mi viene un interesse percentuale annuo [circa] $3,312%$.
Supponiamo che la somma che mi presta la banca sia Q, che essa esiga un interesse relativo t nel tempo T tra una rata ed un'altra e che il mutuo debba essere estinto in $n$ rate ciascuna di importo R.
Quanto è R se l'interesse è t? La banca fa un certo calcolo e mi dice quanto deve essere la rata R.
Viceversa, se io so l'importo R di ciascuna rata, invertendo il calcolo posso risalire all''interesse relativo t che mi appllica la banca.
Cerchiamo allora la relazione che lega il capitale
Q prestatomi al numero
n di rate, all'interesse relativo
t nel tempo
T tra una rata e l'altra e all'importo
R della singola rata.
Per comodità pongo $x = 1 + t$. Vuol dire che tra una rata e l'altra il debito residuo cresce da $Q_r$ a $Q_r(1+t) = Q_r·x$.
• Allo scadere della 1ª rata il debito iniziale Q è diventato $Q·x$.
Appena pagata la 1ª rata resta il debito $Q·x – R$.
• Allo scadere della 2ª rata il debito è diventato $(Q·x – R)·x$.
Appena pagata la 2ª rata resta il debito $(Q·x – R)·x-R = Q·x^2 –(1+x)R$.
• Allo scadere della 3ª rata il debito è diventato $[Q·x^2 –(1+x)·R]·x = Q·x^3 - (x + x^2)R$.
Appena pagata la 3ª rata resta il debito $Q·x^3 - (x + x^2)R – R = Q·x^3 - (1 + x + x^2)·R$.
...
• Allo scadere della k-esima rata il debito è diventato $ [...] =Q·x^k –(x+x^2+...+x^(k-1))·R$.
Appena pagata la k-esima rata resta il debito $[...] = Q·x^k - (1 + x + x^2 + ... +x^(k–1)·R$.
...
• Allo scadere della n-esima [ultima] rata il debito è diventato $[...] = Q·x^n –(x+ x^2 + ... + x^(n-1)]·R$.
Pagata l'utima rata il debito residuo $[Q·x^n –(1+x+ x^2 + ... + x^(n-1))·R$ deve essere nullo.
In definitiva:
$Q·x^n = (1 + x + x^2 + ... + x^(n-1))R = 0$.
NB Se n è un numero piuttosto elevato, ovviamente si fa $1 + x + x^2 + ... + x^(n-1) = (x^n – 1)/(x - 1)$.
Se conosco il tasso di interesse relativo $t$, ossia il rapporto $x = 1+t$ calcolo l'importo della rata R come
$R = Qx^n/(1+x+x^2 + ... + x^(n-1)) = Q(x^n(x-1))/(x^n-1)$.
Se conosco l'importo R della singola rata psso calclare il rapprto $x$ – e poi il tasso relativo percentuale $100t =100(x-1)$ – risolvendo l'equazione in x
$x^n –R/Q(1+x + x^2 + ... + x^(n-1)) = 0$.
Una volta quest'equazione si risolveva con calcoli a mano da certosini con procedimento dicotomico.
Oggi ... si risolve in pochi secondi col computer!
Venendo all'esercizio proposto, diciamo t l'interesse relativo semestrale, per cui un debito Q dopo 6 mesi diventa
$Q(1+t) = Qx$
e dopo un anno diventa
$Q(1+t)^2 = Q·x^2$.
Siccome la 1ª rata si paga dopo un anno, allo scadere della 1ª rata il debito è $Q·x^2$..
Allo scadere della 2ª rata è $(Qx^2 –R)x$, allo scadere della 3ª è $Qx^4 - (x+x^2)R$ e sarà
$Qx^4 – (1 + x + x^2)R = 0$
appena pagata la terza e ultima rata.
Per $Q = 6000$ e $R = 2100$ (ossia $R/Q = 0,35$) abbiamo dunque l'equazione
$x^4 – 0,35(1+x+x^2)=0$
Si trova
$x ≈1,01642634$ (circa)
e quindi un interesse percentuale semestrale $100(x-1) ≈1,642634%.$
L'interesse percentuale annuo è dunque (circa)
$100(x^2-1) ≈ 3,312%$
[Ma chi è questa banca tanto fllantropica?
]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo