Esercizio insiemi numerici
Stamattina, non avendo molto da fare, ho pensato di trovare qualche problema da risolvere abbastanza simpatico!
O meglio, avendolo trovato ieri sera, ho pensato alla soluzione nel mio lettino e stamattina ho pensato di scriverla qui ( purtroppo non lo faccio spesso :S ) per sottoporla a voi utenti
Tratto da 'Che cos'è la matematica' di Courant, Robbins.
Se A contiene n elementi, con n intero positivo, dimostrare che B( insieme delle parti di A), contiene $2^n$ elementi.
Se A è l'insieme dei numeri interi positivi' dimostrare che B è equivalente al continuo Reale da 0 a 1.
Ora sulla prima domanda non ho problemi, anche perchè avevo già incontrato la dimostrazione nello studiare le combinazioni ecc...
Vi chiedo allora aiuto per il secondo quesito
Faccio corrispondere (credo sia ovvio che la corrispondenza è biunivoca ) ad ogni sottoinsieme di A una successione ordinata di simboli $a_n$ che assumono il valore $0$ o $1$ a seconda che l'elemento n-esimo di A appartenga o meno a tale sottoinsieme.
Ora non ci resta che dimostrare che tali successioni di 0 e 1 siano in corrispondenza biunivoca con i numeri reali compresi tra 0 e 1.
E qui casca l'asino! Ero convinto di aver la soluzione ma riflettendo ho trovato un bel po' di contraddizioni nel mio ragionamento! ( infatti stamattina ero sul punto di scrivere, ma nel pomeriggio ho distrutto tutto il ragionamento! :S )
Avete voi qualche soluzione?
O meglio, avendolo trovato ieri sera, ho pensato alla soluzione nel mio lettino e stamattina ho pensato di scriverla qui ( purtroppo non lo faccio spesso :S ) per sottoporla a voi utenti
Tratto da 'Che cos'è la matematica' di Courant, Robbins.
Se A contiene n elementi, con n intero positivo, dimostrare che B( insieme delle parti di A), contiene $2^n$ elementi.
Se A è l'insieme dei numeri interi positivi' dimostrare che B è equivalente al continuo Reale da 0 a 1.
Ora sulla prima domanda non ho problemi, anche perchè avevo già incontrato la dimostrazione nello studiare le combinazioni ecc...
Vi chiedo allora aiuto per il secondo quesito
Faccio corrispondere (credo sia ovvio che la corrispondenza è biunivoca ) ad ogni sottoinsieme di A una successione ordinata di simboli $a_n$ che assumono il valore $0$ o $1$ a seconda che l'elemento n-esimo di A appartenga o meno a tale sottoinsieme.
Ora non ci resta che dimostrare che tali successioni di 0 e 1 siano in corrispondenza biunivoca con i numeri reali compresi tra 0 e 1.
E qui casca l'asino! Ero convinto di aver la soluzione ma riflettendo ho trovato un bel po' di contraddizioni nel mio ragionamento! ( infatti stamattina ero sul punto di scrivere, ma nel pomeriggio ho distrutto tutto il ragionamento! :S )
Avete voi qualche soluzione?
Risposte
Ad occhio mi verrebbe da dire che dovresti convertire in binario.
Cioè mettiamo che ordini gli interi positivi partendo da $1$ e ad ognuno di essi associ $1$ o $0$ a seconda che ci siano o meno. Alla fine dovresti ottenere una sequenza di "uni" e "zeri" infinita formata dagli elementi $a_1, a_2, a_3,.....$. La somma $1/2a_1+1/4a_2+1/8a_3+...$ forse soddisfa quello che vuoi trovare....
Cioè mettiamo che ordini gli interi positivi partendo da $1$ e ad ognuno di essi associ $1$ o $0$ a seconda che ci siano o meno. Alla fine dovresti ottenere una sequenza di "uni" e "zeri" infinita formata dagli elementi $a_1, a_2, a_3,.....$. La somma $1/2a_1+1/4a_2+1/8a_3+...$ forse soddisfa quello che vuoi trovare....
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