Esercizi su numeri interi.

[RuCoLa1]

Salve ho difficoltà con questi esercizi. Sapreste aiutarmi?
Determinare tutte le coppie (n,m) di interi positivi per cui
$root(60)(m^(n^5 -n)$
risulta intero.

Trova le soluzioni intere dell'equazione:
$x^3+ 2y^3 = 4z^3$
Per questa ho trovato che l'unica soluzione è (0,0,0). Infatti considerando l'equazione $mod(2)$ trovo che $x = 2k$ quindi $8k^3 + 2y^3 = 4z^3$. Ora considero l'equazione $mod(4)$ e trovo che $ y = 2t$ quindi $8k^3 + 16t^3 = 4z^3$. Ora considero $mod(8)$ etc...Potendo procedere così all'infinito non esistono altre soluzioni.... E' corretto?

Grazie

[consec]

Per il primo: scrivi $root(60)(m^(n^5-n))$ come $m^((n^5-n)/60)=m^((n(n^2+1)(n-1)(n+1))/60)$. Affinché il numero sia intero, l'esponente deve congruo a $0mod4$, $0mod3$, $0mod5$, sapresti continuare da qui?

[dan952]

....risulti intero (non positivo). Per il secondo sono d'accordo.

[RuCoLa1]

$n(n^2 +1)(n-1)(n+1)$ è congruo a $0mod(3)$,$0mod(4)$,$0mod(5)$ $AA n != 4k +2$ se $m$ non è un quadrato perfetto. Se lo è allora per qualsiasi $ AA n in NN$. E' giusto?

[RuCoLa1]

"dan95":....risulti intero (non positivo). Per il secondo sono d'accordo.

Sì scusa, correggo subito.

[Erasmus_First]

"RuCoLa":Determinare tutte le coppie (n,m) di interi positivi per cui
$root(60)(m^(n^5 -n)$
risulta intero.

Ovviamente deve essere $(n-1)n(n+1)(n^2+1)$ multiplo di 60.

1) Se n è dispari – diciamo n =2k+1 – va sempre bene. Infatti:
• Il prodotto diventa $D(k) = 2k·(2k+1)·(2k+2)·(4k^2+4k+2)$.
• I primi tre fattori sono consecutivi per cui uno di essi è divisibile per 3.
• Basta allora la parità del 1° e 3° fattore per esser certi che $D(k)$ è sempre divisibile per 2·2·3 = 12.
• Basta allora verificare che il numero è multiplo di 5 per k = 0, 1, 2, 3 e 4 perché per k > 4 ci si può ridurre a k mod 5.
La verifica è immediata:
$D(0)=0·1·2·2$; $D(1) =2·3·4·10$; $D(2) =4·5·6·26 $; $D(3)=6·7·8·50$; $D(4)=8·9·10·82$.
2) Se n è pari, non va bene se la sua metà è dispari, va bene se la sua metà è ancora pari.
Infatti:
• Posto n = 2k il prodotto diventa $P(k) = (2k–1)·2k·(2k+1)·(4k^2+1)$.
• Siccome dei quattro fattori uno solo è pari, se k non è a sua volta pari $P(k)$ non può essere multiplo di 60 non essendo multiplo di 4.
Da escludere dunque n = 2, 6, 10, 14, 18, 22, ..., cioè $n = 2(2m+1)$ con m naturale qualsiasi.
• Se n è multiplo di 4 – diciamo n= 4k – abbiamo
$(n-1)n(n+1)(n^2 + 1) = (4k-1)·4k·(4k+1)·(16k^2 + 1)$
che è senz'altro divisibile per 3 e per 4, ossia per 12. Basta allora, [analogamente a quanto fatto per n dispari], verificare che è divisibile per 5 il numero
$Q(k) = (4k-1)·4k·(4k+1)·(16k^2+1)$
per k = 1, 2, 3, 4 e 5. La verifica è immediata:
$Q(1) = 3·4·5·17$; $Q(2)=7·8·9·65$; $Q(3)=11·12·13·145$; $Q(4)=15·16·17·257$;
$Q(5)=19·20·21·401$.

"RuCoLa":[...] soluzioni intere dell'equazione:
$x^3+ 2y^3 = 4z^3$

Si vede di colpo che x deve essere pari. Posto x = 2u risulta
$8u^3 + 2y^3 = 4z^3 ⇔ 4u^3 b+ y^3 = 2z^3$.
Ma allora deve essere pari anche y. Posto quindi y = 2v risulta:
$ 4u^3 b+ 8v^3 = 2z^3 ⇔ 2u^3 + 4v^3 = z^3$.
Ma allora deve essere pari anche z. Posto quindi z = 2w risulta:
$2u^3 + 4v^3 = 8w^3 ⇔ u^3 + 2v^3 = 4w^3$.
L'ultima equazione è come quella data. Allora anche u, v e w devono essere pari. E si può ripetere su u, v e w quanto fatto su x, y e z.
Potendo dividere le indeterminate per 2 indefinitamente, si conclude che una eventuale soluzione della data equazione è una terna di numeri ciascuno dei quali è divisibile per $2^n$ con n intero positivo arbitrario. Ma di tali numeri c'è solo 0.
Morale: l'unica soluzione (di numeri tutti interi) è [x, y, z] = [0, 0, 0].

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[RuCoLa1]

Grazie!!!