Esercizi olimpiadi matematica
non so se la sezione è giusta, o se è un argomento da forum generale, quindi mi scuso in anticipo
stamani ho fatto le olimpiadi della matematica e come sempre la maggior parte dei quesiti erano impossibili
uno mi chiedeva di mettere in ordine, dal più piccolo al più grande, i seguenti numeri: $ 3^33 $, $ 4^30 $ e $ 5^25 $
qual'è un metodo veloce senza svolgere tutte le potenze?
un altro invece chiedeva il risultato di $ log_2 3*log_3 4*log_4 5*...*log_126 127*log_127 128 $
io ho risposto 1, ma ho risposto a caso, perchè non ho la più pallida idea di come si possa risolvere
comunque erano più difficili rispetto a quelle dell'anno scorso
stamani ho fatto le olimpiadi della matematica e come sempre la maggior parte dei quesiti erano impossibili
uno mi chiedeva di mettere in ordine, dal più piccolo al più grande, i seguenti numeri: $ 3^33 $, $ 4^30 $ e $ 5^25 $
qual'è un metodo veloce senza svolgere tutte le potenze?
un altro invece chiedeva il risultato di $ log_2 3*log_3 4*log_4 5*...*log_126 127*log_127 128 $
io ho risposto 1, ma ho risposto a caso, perchè non ho la più pallida idea di come si possa risolvere
comunque erano più difficili rispetto a quelle dell'anno scorso
Risposte
Ricorda che per la proprietà del cambiamento di base dei logaritmi hai $log_ab=(log_cb)/(log_ca)$, quindi?
e quindi fa 7...
tanto sapevo di non riuscire a fare molto
ho fatto solo il kangourou alle medie e ho saputo di essere iscritto alle olimpiadi solo 3 giorni fa e non ho avuto tempo per esercitarmi
tanto sapevo di non riuscire a fare molto
ho fatto solo il kangourou alle medie e ho saputo di essere iscritto alle olimpiadi solo 3 giorni fa e non ho avuto tempo per esercitarmi
Per il primo esercizio, se è consentito l'uso della calcolatrice, potresti calcolare il logaritmo decimale ( o in qualunque altra base >1) delle 3 potenze ed ordinare i risultati. Quest'ordine sarà anche quello delle 3 potenze.
Ora hai :
$Log(3^{33})=33 cdot Log3=15.75$
$Log (4^{30})=30 cdot Log4=18.06$
$Log(5^{25})=25 cdot Log5=17.47$
e quindi:
$3^{33}<5^{25}<4^{30}$
Ora hai :
$Log(3^{33})=33 cdot Log3=15.75$
$Log (4^{30})=30 cdot Log4=18.06$
$Log(5^{25})=25 cdot Log5=17.47$
e quindi:
$3^{33}<5^{25}<4^{30}$
[xdom="giammaria"]Sposto in Scervelliamoci un po'[/xdom]
"ciromario":
Per il primo esercizio, se è consentito l'uso della calcolatrice, potresti calcolare il logaritmo decimale ( o in qualunque altra base >1) delle 3 potenze ed ordinare i risultati. Quest'ordine sarà anche quello delle 3 potenze.
Ora hai :
$Log(3^{33})=33 cdot Log3=15.75$
$Log (4^{30})=30 cdot Log4=18.06$
$Log(5^{25})=25 cdot Log5=17.47$
e quindi:
$3^{33}<5^{25}<4^{30}$
non è permesso nessun tipo di calcolatrice
dato che non sapevo come farlo, avevo iniziato ponendo
33= 3*11 --> 11x (x=3)
30= 3*2*5 ---> 2xy (x=3; y=5)
25= 5*5 --> y^2
ma non sapevo poi come procedere
allora poi ho provato a svolgerli ma, dato che era una cosa lunga, non ho fatto in tempo e l'ho lasciata in bianco(così almeno vale 1)
Beh, allora ...
$4^30=(4^6)^5=(2^12)^5$ e $5^25=(5^5)^5$ ma $2^12=4096$ e $5^5=3125$ quindi $4096>3125 ==> 4^6>5^5 ==> (4^6)^5>(5^5)^5 ==> 4^30 > 5^25$
... e uno
poi ...
$3^7=2187$ e quindi $3125>2187 => 5^5>3^7 => (5^5)^5>(3^7)^5 => 5^25>3^35>3^33$
... e due
... e quindi basta!
$3^33<5^25<4^30$
Cordialmente, Alex
$4^30=(4^6)^5=(2^12)^5$ e $5^25=(5^5)^5$ ma $2^12=4096$ e $5^5=3125$ quindi $4096>3125 ==> 4^6>5^5 ==> (4^6)^5>(5^5)^5 ==> 4^30 > 5^25$
... e uno
poi ...
$3^7=2187$ e quindi $3125>2187 => 5^5>3^7 => (5^5)^5>(3^7)^5 => 5^25>3^35>3^33$
... e due
... e quindi basta!
$3^33<5^25<4^30$
Cordialmente, Alex
non ci sarei mai arrivato -.-
"simo954":
e quindi fa 7...
tanto sapevo di non riuscire a fare molto
Ma perchè ti butti giù?
L'hai risolto in un attimo appena ti ha dato uno spunto (e non dirmi che non lo sapevi); quindi è solo un discorso di convinzione ... dai, sù ...
"simo954":
non ci sarei mai arrivato -.-
Ma dai ... non erano calcoli difficili ... mi sembri che ti butti giù un po' troppo facilmente ...
quello del logaritmo lo avrei potuto fare tranquillamente, se fossi stato un pò più concentrato(nella classe c'era un pò di casino e le olimpiadi richiedono silenzio e concentrazione)
quello delle potenze invece non ci sarei arrivato perchè non ho mai ragionato in quel modo, cioè alle medie forse riuscivo a vedere che 4^30=(4^6)^5, ora, che è da un pò che ho lasciato le potenze, no
è questione di abitudine
però probabilmente stavo riuscendo a capire come si doveva fare, perchè comunque ho capito che dovevo semplificare le potenze.
infatti ho fatto:
33= 3*11 --> 11x (x=3)
30= 3*2*5 ---> 2xy (x=3; y=5)
25= 5*5 --> y^2
forse un modo un pò strano di procedere però comunque era già qualcosa
quello delle potenze invece non ci sarei arrivato perchè non ho mai ragionato in quel modo, cioè alle medie forse riuscivo a vedere che 4^30=(4^6)^5, ora, che è da un pò che ho lasciato le potenze, no
è questione di abitudine
però probabilmente stavo riuscendo a capire come si doveva fare, perchè comunque ho capito che dovevo semplificare le potenze.
infatti ho fatto:
33= 3*11 --> 11x (x=3)
30= 3*2*5 ---> 2xy (x=3; y=5)
25= 5*5 --> y^2
forse un modo un pò strano di procedere però comunque era già qualcosa
Difatti avevi intuito la strada (anche se l'avevi presa un po' laterale ... )
Quindi, vedi che ti manca solo un po' di convinzione nei tuo mezzi ...
Cordialmente, Alex
)Quindi, vedi che ti manca solo un po' di convinzione nei tuo mezzi ...
Cordialmente, Alex
forse se avessi avuto un pò più di tempo per prepararmi sarebbe andata meglio
Quello sicuro.
Perchè anche se uno ha la capacità ma non ha l'abitudine, l'occhio allenato a tipologie di problemi diverse da quelli che è solito risolvere, è difficile che riesca a risolverli in breve tempo.
Perchè anche se uno ha la capacità ma non ha l'abitudine, l'occhio allenato a tipologie di problemi diverse da quelli che è solito risolvere, è difficile che riesca a risolverli in breve tempo.
ora non mi resta che divertirmi con quelli degli anni passati
ormai non le posso più fare, questo è il mio ultimo anno di liceo
ormai non le posso più fare, questo è il mio ultimo anno di liceo
Beh, allora divertiti!
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