Esercizi delle olimpiadi

[L'Innominato1]

Salve vi propongo alcuni esercizi delle olimpiadi di matematica che ho svolto.

I 13 nani della compagnia di thorin entrano,uno alla volta,a casa di bilbo, il quale li fa accomodare alla sua grande tavola rotonda che ha proprio 13 posti.Per primo entra Thorin, e poi seguono gli altri 12 in rigoroso ordine di età, dal più vecchio al più giovane.Thorin si siede in un posto qualsiasi, e ogni altro nano si siede sempre vicino a qualcuno che è già arrivato. In quanti modi si possono disporre i nani, contando una volta sola le configurazioni uguali a meno di rotazioni della tavola?


Come è noto, per comodità , gli orchi contano in base 238.Qual è il più grande fattore primo del numero orchesco 143?Dare la risposta in base 10


Gandalf, Bilbo e Thorin si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo, in cui l'angolo retto è costituito da Gandalf; quest'ultimo dista 6960 metri da Bilbo e 7308 metri da Thorin.La Montagna Solitaria si trova alla stessa distanza da Bilbo e Thorin, e la sua vetta dista 5046 metri da Gandalf.Quanto è alta al massimo la montagna?


e il più difficile


Bilbo e i suoi compagni si trovano finalmente davanti alla porta segreta della Montagna Solitaria;tuttavia c'è solo un modo per superarla.Detta F una funzione dall'insieme degli interi positivi all'insieme degli interi positivi tale che
- F(n)=n-F(F(n-1)) per ogni n>1;
- F(1) è dispari

La porta si aprirà solo pronunciando ad alta voce il valore F(4198)
Quale numero deve dire Bilbo?

[totissimus]

Propongo un'altra dimostrazione dell'uguaglianza \(f(n)=\left\lfloor a(n+1)\right\rfloor \)
Posto \(a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) e quindi \(a^{2}=1-a\) proviamo che

(1) $an
Per $n=1$ risulta $a
Supponiamo che $ai
In particolare per $i=n-1$:

$a(n-1)
quindi per l'ipotesi induttiva:

\(a\left[f(n-1)\right]
e ancora pe la precedente disuguaglianza:

\(a\left[a(n-1)\right]
$a^{2}(n-1)
$n-a^{2}n-a
$n-(1-a)n-a
$an-a
$(n-1)a
Siccome tra $(n-1)a$ e $an$ cade l'itero $f(n-1)$ e l'ampiezza
di questo intervallo è $a<1$, l'intero $f(n)$ deve cadere tra $na$ e $(n+1)a$
quindi
$na
La (1) è dunque provata da essa discende ce \(f(n)=\left\lfloor a(n+1)\right\rfloor \)
in quanto $f(n)>an>a(n+1)-1$

[orsoulx]

"totissimus":Posto .... proviamo che

(1) an

Già con n=2 non mi torna: $ f(2)=1 < 2a $

Ciao

[robbstark1]

Ammettendo che la dimostrazione di giammaria sia corretta (ho dato un'occhiata e mi sembra ok), abbiamo trovato una funzione che soddisfa le due condizioni. Che questa funzione sia unica è evidente dal fatto che ad ogni step siamo capaci di calcolare il prossimo numero, giusto usando i precedenti, a causa del fatto che la funzione risulta crescente.

L'unico dubbio è che dovrebbe esistere qualche altro modo più semplice per intuire questa funzione o almeno la soluzione dell'esercizio.