Equidistanze 3

[axpgn]

Dati quattro punti del piano, non tutti e quattro sulla stessa retta e non tutti e quattro sulla stessa circonferenza, determinare quante, fra rette e circonferenze, sono equidistanti da essi. E dimostrarlo.
Per distanza di un punto $P$ da una circonferenza $c$ di centro $O$ si intende la lunghezza del segmento $\bar(PQ)$ dove $Q$ è il punto di intersezione tra la circonferenza $c$ e la semiretta uscente da $O$ in direzione di $P$.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Sono Sempre Sette Senza Scappatoie Sorprendenti. Scommetto!
Corretto alle 9:22, perché avevo sbagliato a contare le parole.

Ciao

[axpgn]

Yesss ! ... però devi mettere la dimostrazione ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Per accontentare Alex

I punti sono trascinabili. Le caselle controllano la visualizzazione di ciascuna circonferenza.
Foglio trascinabile e zoomabile con la rotellina
[ggb]https://www.geogebra.org/m/F2WMBrYT[/ggb]

Ciao

[axpgn]

Così non vale, non posso mica provarli tutti ...
Va beh, metto la mia ...

Detta $s$ la retta o la circonferenza cercata, i quattro punti non possono stare tutti dalla stessa parte di $s$ (se è una circonferenza interno o esterno) perché in tal caso sarebbero o tutti allineati o tutti sulla stesa circonferenza.
Nel caso di tre punti $A, B, C$ da una parte e il quarto dall'altra, i tre punti possono essere allineati e quindi $s$ sarebbe parallela ad essi e passa nel punto medio della distanza da $D$ e $\bar(AB)$ oppure sono su una circonferenza (di centro $O$) e allora $s$ sarebbe concentrica ad essa avente un raggio pari a $(\bar(OA)+\bar(OD))/2$. In totale $4$.
Nel caso di due punti $A, B$ da una parte e due $C, D$ dall'altra, il punto di intersezione degli assi di $\bar(AB)$ e $\bar(CD)$ è il centro di $s$ che ha il raggio $(\bar(OA)+\bar(OD))/2$. Se gli assi fossero paralleli allora lo sono anche $\bar(AB)$ e $\bar(CD)$ e quindi $s$ è parallela ad entrambi e passa per il punto medio della distanza fra essi (gli assi non possono essere coincidenti perché in tal caso i quattro punti starebbero sulla stessa circonferenza). In totale $3$.
Complessivamente $4+3=7$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":non posso mica provarli tutti

Perché, secondo te GeoGebra come fa a disegnare le 'circonferenze' (che le rette sono solo circonferenze dal raggio mooooolto grande) giuste? Vuoi vedere che qualcuno l'ha 'addestrata' opportunamente.
Ciao
P/S
Non ho capito lo spreco di parole (nel testo) per definire il concetto di distanza punto-circonferenza.

[axpgn]

Ma va, pensavo facesse tutto da sola ... ... (non ci crederai ma son riuscito "a mano" a trovare una retta ... )

Cordialmente, alex

[axpgn]

"orsoulx":Non ho capito lo spreco di parole (nel testo) per definire il concetto di distanza punto-circonferenza.

Perché ho sempre "paura" di essere frainteso ( ... e poi talvolta lo sono lo stesso ... )