Equidistanze 2

[axpgn]

Dati quattro punti nello spazio non tutti complanari, determinare quanti sono i piani equidistanti da essi. E dimostrarlo ...

Cordialmente, Alex

[otta96]

10?

[orsoulx]

Considerando il tetraedro avente per vertici i punti dati, abbiamo:
- 4 piani passanti per i punti medi dei tre spigoli uscenti da uno stesso vertice, che lasciano tre punti equidistante in un semipiano e uno dall'altro;
-[strike]6[/strike] 3 coppie di spigoli privi di vertici in comune e, per ciascuna coppia, il piano passate per i punti medi dei restanti quattro spigoli, lascia due punti equidistanti in ciascun semipiano.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx
adesso è ok.

Vediamo se ci saranno altre soluzioni ...

[Erasmus_First]

@ Ma dai, axpgn/Alex!
E' la stessa zuppa delle rette equidistanti dai vertici di un triangolo.

Là una retta per ognuma delle 3 coppie [vertice, lato oppoasto] di un triangolo. Qua un piano per ciascuna delle 4 coppie [vertice, faccia opposta] di un tetredro.
Si possono caratterizzare ciascuno dei 4 piani con parole diverse da quelle di orsoulx

ma il succo non cambia.

Per esempio: considerando ciascuna delle 4 altezze d'un tetredro (come segmenti con un estemo in un vertice e l'altro nel piede della perpendicolare per quel vertice al piano della faccia opposta) e poi per ciascuna altezza il piano perpendicolare per il suo punto medio.

[Dati due piani paralleli, uno di essi è equidistante da tutti i punti dell'altro – tranne quelli [imprppri] della retta impropria comiune comune ai due piani-.
Sia p la perpendicolare al piano $α$ in A e sia B un altro punto di $p$. Il piano perpendicolare a $p$ nel punto medio di AB è equidistante da A e B e parallelo ad $α$, e quindi equidistante da B e da tutti i punti di $α$].
_______

[teorema55]

"Erasmus_First":Dati due piani paralleli.....................della retta impropria comune ai due piani.

Quale retta hanno in comune due piani paralleli?

[Erasmus_First]

@ teorema55

"teorema55":Quale retta hanno in comune due piani paralleli?

In Geometria Euclidea nessuna. Ma qualcosa hanno in comune, dato che il parallelismo è una relazione di equivalenza (come, per esempio, la "similitudine", ossia l'avere la stessa forma). Nel piano le rette parallele hanno in comune la direzione. Nello spazio i piani paralleli hanno in comune la giacitura.
In Geometria Proiettiva si sostituisce "direzione" con "punto improprio" (o "punto all'infinito") e "giacitura" con retta impropria (o "retta all'infinito").
Se rileggi il mio mssaggio vedi che ho già detto che la retta comune a due piani paralleli è la retta "impropria".
Per capire questi concetti (basilari della Geometria Proiettiva) ... leggi quel che segue.
Nel piano sia r una retta e sia P un punto non appartenente alla retta r.
Per P passano infinite rette distinte. L'insieme delle rette per lo stesso punto è detto "fascio [proprio] di rette" e l'unico punto comune a tutte le rette di un fascio è detto "centro" (di quel fascio).
Ogni retta del fascio di centro P (non appartenente ad r) ha in comune con la retta r] un punto (quello di intersezione, diciamo I come "Intersezione") tranne la retta per P parallela ad r che invece ha in comune con r la direzione.
Se facciamo camminare I su r allontanandolo sempre più dal piede della perpendicolare per P ad r, notiamo che la retta PI (del fascio di centro P) gira; e quando I tende all'Infinito (sempre stando su r), la retta PI tende a diventare parallela alla retta r.
La Geometria propiettiva è quella che "battezza" punto (di una retta) anche la direzione di quella retta e mette tra i postulati quello che due rette distinte del piano hanno sempre in comune un punto (uno solo). Se le rette sono incidenti il punto comune è un "punto propro"; se sono parallele il punto comune è il "punto imropro" (che in geometria euclidea era detto "direzione comune").
Ciascuna retta di un fascio proprio ha direzione diversa. Ma tutte queste infinite direzioni stanno sullo stesso piano. Dunque la "giacitira" di un piano è l'insieme dì tutte le possibili direzioni su quel piano. Se battezziamo "punto improprio" ciascuna direzione, la giacitura è l'insieme di tutti i punti impropri di un piano; e questo insieme è detto "retta impropria" o "retta all'infinito".
Se infatti allontani una retta rda un punto P mantenendone la direzione, puoi sempre mettere in corrispondenza biunivoca le retta del fascio di centro P con i punti I di r (quelli di intersezione), e la parallela ad r col unto improprio di r. Ma al tendere all'infinito di [r]r tutti si suoi punti vanno all'infinito, sempre restando ciascuno su una retta del fascio. Ossi: i punti di r tendono ad esse i singoli punti impropri delle rette del fascio di centro P P.
Beh: ora è facile estendere i cooncetti basilari della Geometria Propiettiva dal piano allo spazio.
Due piani inclinati uno sull'altro hanno in comune una retta. Teniamo fisso un piano e facciamo girare l'altro attorno ad una retta parallela al primo Più piccola è 'inclinazione, tanto più lontana è la retta di intersezione da quella di interzesione del piano girevole n posizione perpendicolare a quello fisso.
Al tentere a zero dell'inlinazione (cioè al parallelismo tra piano fisso e piano girevole) tutta la retta intersezione tende all'infinito. In Propiettiva si dice che due piani paralleli si intersecano all'infinito, ossia che hanno in comune la retta impropria (quella di uno è la stessa di quella di un suo piano parallelo).
Ciao ciao!

_______

[axpgn]

@Erasmus

Premesso che dimentichi spesso di usare lo spoiler, se non ho capito male intendi dire che la risposta è $4$; confermi?

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":@Erasmus
Premesso che dimentichi spesso di usare lo spoiler, se non ho capito male intendi dire che la risposta è $4$; confermi?
Cordialmente, Alex

???
Nel mio primo intervento (nel quale mi rivolgevo a te) non ho dimenticato di usatre il tag "spoiler". Ho scelto di non usarlo!
Ma la risposta (cioè: "i piani dello spazio equidistanti dai vertici di un tetredro sono quattro") ci sta chiara, inequivocabile!
E, siccome tu aspettavi se ci fossero state soluzioni diverse da quella (da te approvata) di orsoulx, ho individuato ciascuno dei quattro piani in modo diverso da quello di orsoulx, ossia non come piano per i punti medi di tre spigoli ma come piano perpendicolare ad una altezza nel suo punto medio (rimarcando,però, che a parte le parole diverse "il succo non cambia").
Prova a rileggere quello che ho scritto.
Ciao ciao

_______

[orsoulx]

Suvvia!! Evitiamo le pignolerie, che in caso contrario potrei sostenere, a ragione, di non aver mai scritto quanti siano i piani soddisfacenti le condizioni assegnate.
Ciao

[orsoulx]

Note a margine.
Definiamo 'simpatico' un teorema che richieda per la sua dimostrazione (attraverso proprietà basiche) meno parole di quante ne servano per il suo enunciato.
Nell'affrontare il quesito ho utilizzato un teorema 'simpatico': in spoiler l'enunciato (14 parole) e la dimostrazione (12).

Due punti $ P_1 $ e $ P_2 $ sono equidistanti da qualsiasi piano $ \alpha $ passante per il loro punto medio $ M $.

Esiste un'isometria che scambia $ P_1$ con $ P_2$, lasciando immutato $ \alpha $: la simmetria di centro $ M $.

Ciao

[axpgn]

@Erasmus

"Erasmus_First":... non ho dimenticato di usatre il tag "spoiler". Ho scelto di non usarlo!

Sbagliando, perché nel tuo commento hai messo in chiaro la tua soluzione (peraltro errata), quindi "impattando" sulle considerazioni di altri utenti ...

"Erasmus_First":Ma la risposta (cioè: "i piani dello spazio equidistanti dai vertici di un tetredro sono quattro") ci sta chiara, inequivocabile!

Sarà anche chiara e inequivocabile ma purtroppo è sbagliata ...

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

[ot]@ axpgn
Accidenti Alex! Mi mandi in confusione
Ma ... cos'è per te la soluzione di questo quiz? Dire che i piani sono 4 (e dire anche quali sono)

, oppure la dimostrazione (**], oppure tutt'e due?

Che c'è di sbagliato?
• Il nmero di piani equidistanti dai quattro vertici di un tetraedro è forse diverso da quattro?
• Non è forse vero che il piano perpendicolare ad una altezza [delle quattro di un tetraedro] nel suo punto medio è equidistante da ciascuno dei 4 vertici del tetraedro?
----------
Uffa! Perché mi costringi a passare sotto le "forche caudine"?
Nella mia prima risposta ho detto sia il numero di piani, sia quali sono sia la dimostrazione. Ho detto infatti:

Un piano per ciascuna delle 4 coppie [, ] [...] per ciascuna altezza il piano perpendicolare per il suo punto medio

[**] Sia p la perpendicolare al piano α in A e sia B un altro punto di p. Il piano perpendicolare a p nel punto medio di AB è equidistante da A e B e parallelo ad α, e quindi equidistante da B e da tutti i punti di α.
–––––––
Con opportuno uso del teorema di Talete si prova facilmente che in ogni tetredro ABCD il piano per i punti medi di tre spigoli concorrenti in un vertice (per esempio AB, AC e AD) e quello perpendicolare all'altezza con un estremo in quel vertice (che nell'esempio è A) nel suo punto medio sono il medesimo piano.
Hai approvato la soluzione di orsoulx ...e la mia – riprto: parole diverse ma il succo è sepre quello! – dici che è sbagliata?
Quanto a "spoiler" o no ... lasciami fare come mi pare! Il guaio è che faccio troppi errori di battitura!
Ripeto ancora (spero per l'ultima volta): Perché mi costringi a sottomettermi qa queste "forche caudine"? [/ot]
_______

[axpgn]

@Erasmus

Per lo spoiler fai come vuoi (tanto lo faresti lo stesso ... ) ma la risposta è [size=150]$7$[/size] ...

Cordialmente, Alex

@Erasmus
[ot]P.S.: Forse avrò insistito tanto ma l'ho fatto perché mi è parso strano che tu non te ne sia accorto ... tra l'altro la risposta corretta è contenuta nel post di orsoulx che hai letto .. [/ot]

[Erasmus_First]

@ axpgn & orsoulx
Rif. https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=47&t=179542&start=10#p8303508

Oops!
Debbo chiedere scusa ad axpgn/Alex

Vedo solo ora che orsoulx aggiunge altri 3 piani ai 4 .che anch'io ho preso in considerazione.

Avete ragione voi!
I piani equidistanti da tutti i quattro vertici di un tetraedro sono 7.

In un primo tempo ho scartato i tre piani che lasciano uno spigolo in un semispazio e lo spigolo opposto nell'altro perchè ciascuno (di questi 3 piani) deve intersecare a metà gli altri 4 spigoli. E mi pareva che i quattro punti medi di altrettanti spigoli fossero complanari solo nei tetredri regolari.

Invece no: questi 4 punti sono complanari anche in tetraedri qualsiasi.

[Portate pazienza: rifaccio un po' il percorso logico]
Dato il tetraedro di vertici A, B, C e D, onsideriamo (per esempio) gli spigoli opposti AB e CD (e supponiamo che sia percorribile con continuità la linea –quadrilatero non piano –
D → B → C → A → D.
Se diciamo
• H il punto medio di BC;
• K il punto medio di BD;
• M il punto medio di AC;
• N il punto medio di AD
succede che le rette HK e MN sono parallele una all'altra perché sono entrambe parallele alla retta CD . Quindi i punti H, K, M ed N sono complanari ed il piano cui appartengono è equidistante da A, B, C e D (non coplanari).

Insomma: nello spazio due rette sghembe qualsiasi individuano una giacitura (quella ortogonale all'unica perpendicolare ad entrambe). In questa giacitura c'è un piano che contiene una retta ed un altro piano parallelo al primo che contiene l'altra retta.
E c'è un piano intermedio, equidistante da quei due piani e quindi equidistante da tutti i punti di emtrambi i piani; in parrticolare da due punti distinti qualsiasi di un piano e due punti qualsiasi dell'altro piano (che, se non sono complanari sono i posibili 4 vertici di un tetraedro).
-----
Bello!
Compliumenti ad orsoulx che ha risposto giusto!!

Alex: te l'ho che ormai sono da "rottamare"!
Sono come le auto vecchie: ho bisogno di riparazioni (alla mia personale "logica") sempre più frequenti.
_______