Equidistanze 1

[axpgn]

Dati tre punti del piano non allineati, determinare quante sono le rette equidistanti da essi. E dimostrarlo ...

Cordialmente, Alex

[otta96]

3?

[teorema55]

Bravo Alex, così mi piaci!
Mentre ho ancora la notte nella testa direi nessuna, ma lasciamici pensare dopo il caffè........
Buona giornata.

Marco

[teorema55]

Esiste un solo punto equidistante da tre non allineati (il centro dell'unica circonferenza passante per essi, o circocentro del triangolo che li ha per vertici, che è la stessa cosa).

Non esiste una retta passante per esso e perpendicolare ai tre punti non allineati. Di questo ometto la dimostrazione (per assurdo, per esempio.......).

[otta96]

@teorema55 é poco probabile che per calcolare la distanza tra una retta e più di un punto basti calcolare la distanza di questi punti da uno STESSO punto della retta.

[teorema55]

"otta96":@teorema55 é poco probabile che per calcolare la distanza tra una retta e più di un punto basti calcolare la distanza di questi punti da uno STESSO punto della retta.

Illuminami allora, te ne sarei grato (ricordando che la distanza da un punto a una retta si misura sull'unica perpendicolare per quel punto a quella retta).

[Erasmus_First]

"axpgn":Dati tre punti del piano non allineati, determinare quante sono le rette equidistanti da essi. E dimostrarlo ...

Sono tre; e sono le tre rette per due dei tre punti rispettivamente medi dei tre segmenti di estremi due dei tre punti.
Devo dimostrarlo? Uffa quant'è noioso farlo!
Ci provo ... e scusatemi se sarò inevitabilmente "barboso"!
––––––––
Siano A, B e C i vertici di un triangolo. Siano X, Y e Z i punti medi rispettivamene dei lati BC, CA e AB. Siano:
• r una retta per X non coincidente con BC;
• H l'intersezione con r della perpendicolare ad r per B;
• K l'intersezione con r della perpendicolare ad r per C.
Allora i triangoli BXH e CXK sono ugiìuali (... e vi risparmio la noiosa pedissequa dimostrazione!) [Ecc., ecc.].
Pertanto sono equidistanti da B e da C
(a) tutte le rette del fascio di centro X .
Sono equidistanti da B e da C anche
(b) le parallele a BC .
Nessuna altra retta, tranne quelle dei detti tipi (a) e (b), è equidistante da B e da C, [perché intersecherebbe BC in un punto non equidistante da B e da C, ecc, ecc.].
Analoghe considerazioni valgono per la ricerca delle rette equidistanti dai punti della coppia [C , A] e delle rette equidistanti dai punti della coppia [A, B].
Di tutte le rette equidistanti da B e da C,
• la retta XY di tipo (a) è equidistante da A e da B perché parallela ad AB;
• la retta ZX di tipo (a) è equidistante da C e da A perché parallela a CA;
• la retta YZ di tipo (b) è equidistante da C e da A perché per il punto medio CA (ed è equidistante da A e da B perché per il punto medio di AB).

_______

[teorema55]

Mi hai convinto, Erasmus. Grazie

[axpgn]

"Erasmus_First":Devo dimostrarlo? Uffa quant'è noioso farlo!

Ma è questo il bello, Erasmus!

"Erasmus_First":Ci provo ... e scusatemi se sarò inevitabilmente "barboso"!

Sei "barboso" perché ti complichi la vita ... bastavano tre righe ... (poi le scrivo ... intanto aspettiamo eventuali altri interventi) ...

@otta96
Però devi dimostrarlo ...

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Beh..............a questo punto, dopo avere toppato clamorosamente ed avere capito di avere toppato clamorosamente...........direi: la retta passante per i punti medi di 2 lati del triangolo é parallela al terzo lato (Talete, per esempio). Congruenza a 2 a 2 dei 4 triangoli costruiti tracciando le perpendicolari dai 3 punti alla retta (triangoli rettangoli con 3 angoli ed ipotenusa congruenti). Ripeto per 3 volte.

Semi-perdonato?

[veciorik]

Tre: parallele ad un lato, passano per i punti medi degli altri lati.

[dan952]

E se sono $n$ punti non allineati?

[orsoulx]

@dan95:

con $ n>1 $ abbiamo i seguenti casi:
$ n=2 $ : due fasci di rette, uno proprio di centro il punto medio dei due assegnati, uno improprio di parallele alla congiungente i due;
$ n= 3 $: tre rette passanti per due dei tre punti medi di quelli dati;
$ n=4 $: considerando le sei rette passanti per due dei punti assegnati abbiamo 3 sottocasi. Non esistono coppie di rette parallele, nessuna soluzione; esiste una sola coppia di rette parallele, la retta di mezzeria fra queste è l'unica soluzione possibile; esistono due coppie di rette parallele, le rette di mezzeria di ciascuna di queste è una soluzione.
$ n>4 $ nessuna soluzione.

Ciao

[dan952]

@orsoulx

$n>4$ occhio... Non è detto che n-1 punti non siano allineati.

[orsoulx]

@dan95:

differenza di opinioni sull'estensione. Io ho interpretato: "n punti qualsiasi privi di terne allineate". In caso contrario cambia anche la formulazione del caso $ n=4 $

Ciao

[otta96]

Anche se nel frattempo anche altri hanno postato la loro soluzione, voglio dire la mia, anche se in ritardo:

Consideriamo tre punti $A,B,C$ non allineati nel piano $pi$, supponiamo esista una retta con la proprietà richiesta, allora essa dividerà il piano in due semipiani, le possibilità sono due: o i tre punti stanno nello stesso semipiano, o uno sta in un semipiano diverso da quello degli altri due, ma la proprietà che stiamo imponendo esclude la prima opzione; quindi una tale retta dovrà essere parallela ad un'altra passante per due dei tre punti.
Consideriamo allora il fascio di rette parallele alla retta $r_1$ passante per $A$ e $B$, considero la retta $r_2$ di questo fascio passante per $C$, unisco tramite un segmento ortogonale le rette $r_1$ e $r_2$, se prendo la retta appartenente al fascio sopra citato passante per il punto medio del segmento, trovo l'unica retta di tale direzione ad avere la proprietà richiesta.
Facendo il ragionamento invertendo i ruoli si ottiene che di rette ce ne sono esattamente 3.

Che ve ne pare?

[axpgn]

Che è la stessa della mia

Dati tre punti non allineati $A, B, C$ e detto $H$ il piede della perpendicolare da $C$ ad $\barA\barB$ allora la nostra retta sarà quella parallela ad $\barA\barB$ e passante per il punto medio di $\barC\barH$. Idem per $\barA\barC$ e $B$ e per $\barB\barC$ e $A$.

Volendo essere pignoli si deve aggiungere che i tre punti non possono stare dalla "stessa parte" della retta.

Cordialmente, Alex