Equazioni e disequazioni

[giulylanza06]

Siano a, b reali positivi tali che a + b = 1. Dimostrare che:
$(a+2/a)^2+(b+2/b)^2>=81/2$

[orsoulx]

Essendoci solo due variabili esistono molti modi per dimostrare l'assunto, fra quelli di più basso livello potrebbe esserci il seguente:

$ (a+2/a)^2+(b+2/b)^2=a^2+b^2+4/{a^2}+4/{b^2}+8=(a+b)^2-2ab+4((a+b)^2-2ab)/{(ab)^2}+8= $
$ =9-2ab+4(1-2ab)/{(ab)^2} $.
Il minimo valore dell'ultima espressione coincide con il massimo del prodotto $ ab $ [NB come segnalato da giammaria, questa affermazione è vera nelle ipotesi del problema: a e b positivi; ma non in generale] che, per essere $ a+b=1 $, si verifica quando $ a=b=1/2 $, dove vale $ 81/2 $.

Ciao

[giammaria2]

Scusa, orsoulx, ma su cosa ti basi per scrivere "Il minimo valore dell'ultima espressione coincide con il massimo del prodotto $ab$"? Ad esempio, se avessimo avuto
$"espressione"=(ab)^2-4/9ab+3$
il valore minimo sarebbe stato per $ab=2/9$ e quindi per $a=1/3;b=2/3$ o viceversa.
Fino a prima di quella frase la mia soluzione è identica alla tua, ma poi continuo in modo diverso (e decisamente più brutto, motivo per cui non l'ho postata).

[giulylanza06]

Coincide con il massimo valore di ab perché nell'espressione divido per ab e sottraggo ab, quindi più ab sarà grande, più il risultato dell'espressione sarà minore

[orsoulx]

@giammaria:
ti ha già risposto gl630.
Ciao

[giammaria2]

D'accordo, per la limitazione $0<=ab<=1/4$: togliendola o modificandola opportunamente, non è più vero.

[orsoulx]

@giammaria:
ho corretto la soluzione.
Ciao e grazie.

[Erasmus_First]

"gl630":Siano a, b reali positivi tali che a + b = 1. Dimostrare che:
$(a+2/a)^2+(b+2/b)^2>=81/2$

Pongo $x = a-b$ (per cui $a=(1+x)/2$ e $b=(1-x)/2$) e allora devo dimostrare che per $-1 < x < 1$:
$[(1+x)/2 +4/(1+x)]^2 + [(1-x)/2 +4/(1-x)]^2 ≥ 81/2$.

Riducendo il membro sinistro ad una sola frazione questa risulta:
$(x^6 + 15x^4 + 31x^2 + 81)/(2(1-x^2)^2)$.
Il numeratore è minimo in $x = 0$ e nell'intervallo aperto $-1 < x < 1$ il denominatore è massimo in $x = 0$. Quindi la frazione stessa è minima in $x=0$ dove vale $81/2$.

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[orsoulx]

"Erasmus_First":Pongo $ x=(a−b)/2 $

Probabilmente nel copiare hai scritto un fratto 2 di troppo.
Ciao

[Erasmus_First]

"orsoulx":Probabilmente [...] hai scritto un fratto 2 di troppo.

Non "probabilmente" ma "di sicuro"!
Grazie della segnalazione.
Vado a correggere con "Pongo $x = a−b$".
Ciao B.
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