Equazione...extraterrestre

[Sk_Anonymous]

Si consideri l'equazione :
\(\displaystyle \sqrt[n]{1+x}-\sqrt[n]{1-x}=\sqrt[2n]{1-x^2}, n \geq 2 \)
A) Dimostrare che tale equazione ha una ed una sola soluzione in $]0,1[ $
B) Detta $x_o$ la radice di cui al punto (A), determinare di essa un'espresssione formale (non approssimata)
C) Nel caso di $n=2$ verificare che la quantità :
$(sqrt5+x_o)/(sqrt5-x_o)$
è razionale.

[marcosocio]

Ci provo:

Mi riconduco ad avere le tre radici con lo stesso indice: $root(2n)((1+x)^2)-root(2n)((1-x)^2)=root(2n)((1+x)(1-x))$
Divido entrambi i membri per $root(2n)((1+x)(1-x))$ e ottengo $root(2n)(\frac{1+x}{1-x})-root(2n)(\frac{1-x}{1+x})=1$
Riscrivo così: $root(2n)(\frac{1+x}{1-x})-root(-2n)(\frac{1+x}{1-x})=1$
Passando alle potenze $(\frac{1+x}{1-x})^(1/(2n))-(\frac{1+x}{1-x})^(-1/(2n))=1$
Sostituisco: $(\frac{1+x}{1-x})^(1/(2n))=t$ e risolvo $t-1/t=1$, $t^2-t-1$
Ottengo $t=\frac{1-sqrt(5)}{2}$ che non è accettabile perche $t>0$ e $t=\frac{1+sqrt(5)}{2}=\varphi$
Svolgendo gli opportuni calcoli si ottiene la soluzione cercata $x_0=\frac{\varphi^(2n)-1}{\varphi^(2n)+1}$
Se $n=2$, sostituendo $x_0$ nell'espressione del punto C e svolgendo gli opportuni calcoli si ricava che essa vale $2$, che è chiaramente razionale.

[Sk_Anonymous]

Ottima soluzione. Il "cuore" della dimostrazione risiede proprio in quella divisione che tu hai efficacemente mostrato.

[marcosocio]

Grazie!