Equazione mitologica

[wall98]

Una volta che l'avrete risolta capirete il perche del titolo, e vi convincerete che per fare matematica studiare un po della sua storia non fa male, spero...

risolvere \(\displaystyle 2a(a^2+3b^2)=x^3 \) con a,b,x interi relativi.

alla fine comunque non so quali siano esattamente le soluzioni, bisogna solo fare i casi, ma il procedimento vi giuro è emozionante

[giammaria2]

E' passata più di una settimana e tutto tace; forse faresti meglio a dare qualche spunto. Che incuriosisce anche me, dato che non vedo la giustificazione del titolo né il collegamento con la storia della matematica; quanto alla risposta, ho solo trovato i seguenti due gruppi di soluzioni:
$a=0 " ; "AA b" ; "x=0$
$AA a" ; "b=+-a" ; "x=2a$
Ho l'impressione che non ce ne siano altre, ma non saprei dimostrarlo.

[milizia96]

In effetti neanche io capisco perché "mitologica".

Ma si riconduce a un caso particolare di un'equazione molto famosa, risolta completamente solo pochi anni fa.

[wall98]

Vabbe dai l'idea di aver risolto una qualsiasi cosa con un teorema del genere mi ha portato ad esagerare un pochino con le descrizioni

@milizia96 Comunque mitologica nel senso di leggendaria, come d'altronde è stato ed è tuttora il teorema di cui parliamo

@giammaria Non ho provato a cercare le soluzioni perche alla fine dopo averlo impostato nel modo giusto sono solo casi

[j18eos]

Un suggerimento...

Usare il teorema fondamentale dell'aritmetica!

Ah, comunque non ho il tempo di giocare ho solo scritto da dove inizierei! : )

[wall98]

megasuggerimento: una volta fattorizzato cosi \(\displaystyle (a+b)^3 - (a-b)^3=x^3 \) come concludere?

[Andrea571]

"wall98":megasuggerimento: una volta fattorizzato cosi \(\displaystyle (a+b)^3 - (a-b)^3=x^3 \) come concludere?

Con questo suggerimento, credo di aver capito che intendi con mitologico/leggendaria

[giammaria2]

Col megasuggerimento è bellissimo! E veramente le uniche soluzioni sono quelle che avevo indicato. Non ho però mai visto la dimostrazione di quel teorema: nel caso dei cubi (sufficienti per questo problema) pensate che sia accessibile a livello di secondaria?
Mi incuriosisce poi il suggerimento di j18eos; se con quel metodo arriva ad una soluzione, vorrei vederla.

[j18eos]

"giammaria":...Mi incuriosisce poi il suggerimento di j18eos; se con quel metodo arriva ad una soluzione, vorrei vederla.

Vediamo un pò...

Escludo la soluzione banale: \(\displaystyle x=a=0;\forall b\in\mathbb{Z}\).

Scrivo comunque in spoiler ed a puntate perché è piuttosto lungo il calcolo!

I numeri \(\displaystyle a\) e \(\displaystyle b\) sono entrambi pari o dispari.

Dall'equazione proposta si ha che \(\displaystyle x^3\) è un numero pari, ovvero \(\displaystyle x\) stesso è un numero pari[nota]La radice cubica di \(\displaystyle 2\) non è un numero intero...[/nota]; per il teorema fondamentale dell'aritmetica (TFAr) si ha che:
\[
\exists p_1;...;p_n\in\mathbb{P};e_1;...;e_n\in\mathbb{N}\mid x=p_1^{e_1}\cdot...\cdot p_n^{e_n}
\]
e poiché \(\displaystyle2\) è un numero primo, senza ledere la generalità si ha che \(p_1=2\); da ciò ci si riduce a cercare le soluzioni dell'equazione:
\[
a(a^2+3b^2)=2^{3e_1-1}p_2^{3e_2}\cdot...\cdot p_n^{3e_n}.
\]
Risulta che il primo membro è un numero pari; distinguo due casi:
[list=1]
[*:18vq4m2i] il numero \(\displaystyle a\) è pari, allora si vede facilmente che pure \(\displaystyle b\) è un numero pari;[/*:m:18vq4m2i]
[*:18vq4m2i] il numero \(\displaystyle a\) è dispari, allora si vede facilmente che pure \(\displaystyle b\) è un numero dispari.[/*:m:18vq4m2i][/list:o:18vq4m2i]

[giammaria2]

"j18eos": il numero \(\displaystyle a\) è pari, allora si vede facilmente che pure \(\displaystyle b\) è un numero pari;

Non potrebbe essere $a=2^(3e_1-1)*k$, con $k$ dispari? In questo caso $b$ sarebbe dispari.

[j18eos]

Vediamo un pò se non ho fatto un buco nell'acqua... a causa della perfida aritmetica

Più in generale sia \(\displaystyle a=2^rk \) con \(\displaystyle k\) dispari; allora:
\[
2^{3e_1-1}p_2^{e_2}\cdot...\cdot p_n^{e_n}=2^rk(2^{2r}k^2+3b^2)\\
3\cdot2^rkb^2=2^{3e_1-1}p_2^{e_2}\cdot...\cdot p_n^{e_n}-2^{3r}k
\]
utilizzando il TFAr e la definizione di numero primo si può eliminare \(\displaystyle k\) ottenendo l'eguaglianza:
\[
3\cdot2^rb^2=2^{3e_1-1}p_{i_2}^{e_{i_2}}\cdot...\cdot p_{i_m}^{e_{i_m}}-2^{3r}
\]
e se fosse \(\displaystyle r\geq3e_1-1\) (il caso incriminato da Giammaria?) si avrebbe che \(\displaystyle3b^2\) è differenza di due pari, quindi dev'essere anch'esso un numero pari!

EDIT: No, dev'essere \(\displaystyle r>3e_1-1\)!...

Mi sa che ho trovato una falla acquatica nel mio tentativo di dimostrazione...