Equazione funzionale

[.Ruben.17]

Trovare tutte le funzioni f:Q→C tali che per ogni x razionale si abbia
[tex]f(x)\cdot\overline{f(2017)}=\overline{f(x)}\cdot f(2017)[/tex]
e per ogni scelta di $x_1, ..., x_2017$ razionali si abbia
[tex]f(x+x_1+\ldots+x_{2017})=f(x)\cdot f(x_1)\cdot\ldots\cdot f(x_{2017})[/tex]

Ci tengo a precisare che non so se la mia soluzione é corretta; magari se non arrivamo risposte la posto tra qualche giorno per discuterla con voi

[kobeilprofeta]

Postala

[j18eos]

Aggiungo l'ipotesi che \(\displaystyle f\) sia continua.

Siano \(\displaystyle x,x_1=...=x_{2017}=0\in\mathbb{Q}\); per le ipotesi:
\[
f(x)=f(0)\cdot f(x)
\]
per cui \(\displaystyle f(0)\in\{0,1\}\). Errore! In realtà è \(\displaystyle f(x)=f(0)^{2017}\cdot f(x)\)...

Nell'eventualità che sia \(\displaystyle f(0)=0\), si ha che \(\displaystyle f\) è la funzione costantemente nulla.

Sia \(\displaystyle f(0)=1\), allora
\[
f(2017)=\overline{f(2017)}\Rightarrow f(2017)\in\mathbb{R}\Rightarrow\forall x\in\mathbb{Q},\,f(x)\in\mathbb{R};\\
\forall x_1,x_2,x=x_3=...=x_{2017}=0\in\mathbb{Q},\,f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)\Rightarrow\\
\Rightarrow f(-x_1)=f(x_1)^{-1}\iff\forall x\in\mathbb{Q},\,f(x)\neq0;\\
x=0,x_1=...=x_{2017}=1\in\mathbb{Q},\,f(2017)=f(1+...+1)=f(1)^{2017}\Rightarrow f(1)=\sqrt[2017]{f(2017)}.
\]
Detto \(\displaystyle f(1)=a\in\mathbb{R}\); mimando questa dimostrazione, la funzione ricercata è \(\displaystyle f(x)=e^{kx}\) con \(\displaystyle k\in\mathbb{R}\).

[orsoulx]

Scusa Armando, ma mi pare che tutte le funzioni $ f(x)=a^x $ con $ a>0 $ o, in alternativa, tutte le funzioni $f(x)=e^{kx}$ con $ k in RR $, quindi anche la funzione costante $ f(x)=1 $, soddisfino tutte le ipotesi poste.
Ciao

[.Ruben.17]

Il problema sta nel f(0)=1 da cui fai discendere che f(2017)=f(2017) coniugato

Ci sono miriadi di funzioni non di quella forma che soddisfano

[j18eos]

@orsolux Ho dimenticato un \(\displaystyle k\in\mathbb{R}\).

".Ruben.":Il problema sta nel f(0)=1...

Perché?

[giammaria2]

Scusate l'ignoranza, ma cosa si intende con [tex]\overline{f(x)}[/tex]? Speravo che le risposte me lo chiarissero, ma non è così; forse a me è stato insegnato un simbolo diverso.

[j18eos]

@giammaria A meno di simbologie strane: sia \(\displaystyle z=a+ib\in\mathbb{C}\), ove ricordo che \(\displaystyle i^2=-1\); si definisce coniugato di \(\displaystyle z\) il numero complesso \(\displaystyle\overline{z}=a-ib\).

Facilmente si nota che \(\displaystyle z=\overline{z}\) se e solo se \(\displaystyle z=a\in\mathbb{R}\).

[giammaria2]

@ j18eos. Grazie mille; adesso che me l'hai detto, mi è tornato in mente.

[orsoulx]

"j18eos":Perché?

Visto che nessuno ti risponde provo a farlo io.

Ponendo $ x_1=x_2=...x_{2017}=0 $ si ottiene $ f(x)=f^{2017}(0)*f(x) $ che, in $ CC $, porta a $ f(0)=0 $, oppure $ f(0)=r_h $ dove $ r_h $ è una qualsiasi delle 2017 radici 2017-esime dell'unità; tu invece hai considerato solo $ f(0)=1 $
Mi pare, ma non ne sono affatto certo, che questo porti almeno a $ f(x)=e^{kx}*r_h$ per ogni $h$ prefissato, cioè a valori di $f(x)$ che coincidono, in modulo, con quelli che hai trovato, ma che hanno la medesima anomalia dell'$r_h$ scelto. Ovviamente, non sono in grado di dimostrare che non vi siano ulteriori possibilità.

Ciao

[j18eos]

Porca miseria, ho solo risolto un \(\displaystyle\frac{1}{2017}\) dell'esercizio...

[orsoulx]

"j18eos":Porca miseria...

Vedila in positivo: hai trovato un insieme di funzioni con la stessa potenza di quello voluto (forse)
Ciao

[.Ruben.17]

Questa è la mia, su cui nutro ancora qualche dubbio:

Traccia:
$f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{C}$
$ f(x)\overline{f(2017)}=\overline{f(x)} f(2017)$
$ f(x+x_1+...+x_{2017})=f(x)f(x_1)\cdot....\cdot f(x_{2017})$ per ogni scelta di $x_1,...x_{2017}$ razionali.
Soluzione:
Scrivo $f(x)=r(x)e^{i g(x)}$ dove $r,g: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$. La seconda equazione, passando ai moduli diventa: $r(x+x_1+...+x_{2017})=r(x)r(x_1)\cdot....\cdot r(x_{2017})$ e imponendo $x_1=....=x_{2017}=0$ si ha: $r(x)=r(x)r(0)^{2017}$, da cui $r(0)=0$, che implica $f(x)=0$(prima soluzione) oppure $r(0)=1$.
Nel secondo caso proseguiamo la soluzione prendendo $x,y$ diversi da 0 tra i $x_i$ e scriviamo: $r(x+y)=r(x)r(y)$, ossia una delle forme dell'equazione funzionale di Cauchy. Poichè siamo su un dominio razionale non necessitiamo neanche dell'ipotesi di continuità per affermare che: $r(x)=e^{ax}$ con $a \in \mathbb{R}$.
La seconda equazione passando agli argomenti diventa: $e^{ig(x+x_1+....+x_{2017})}=e^{i[g(x)+g(x_1)+ ... +g(x_{2017})]}$, ossia: $g(x+x_1+....+x_{2017})=g(x)+g(x_1)+ ... +g(x_{2017})+2k(x)\pi$, dove k è una funzione a valori interi(infatti non possiamo presumere a priori che k sia costante).
Ponendo $x_1=....=x_{2017}=0$ si ha $g(x) = g(x) + 2017g(0)+2k(x)\pi$, dunque la quantità $2k(x)\pi$ è fortunatamente costante e vale $-2017g(0)$. Riscrivo quindi l'eq. nella forma $g(x+x_1+....+x_{2017})=g(x)+g(x_1)+ ... +g(x_{2017})-2017g(0)$ e ponendo $x_1=y, x_2=...=x_{2017}=0$ ottengo: $g(x+y)=g(x)+g(y)-g(0)$.
Per induzione sui naturali ottengo che $g(nx)=[g(x)-g(0)]n + g(0)$ per ogni n naturale ed ogni x razionale.
Ponendo ora $x=\frac{1}{n}$ ottengo $g(\frac{n}{n})=[g(\frac{1}{n})-g(0)]n+g(0)$, da cui dopo vari passaggi si ottiene: $g(x)=[g(1)-g(0)]x+g(0)$ : (1).
Dalla prima equazione, passando agli argomenti si ha: $e^{ig(x)}\cdot e^{-ig(2017)}=e^{-ig(x)}\cdot e^{ig(2017)}$, da cui $g(x)-g(2017)=h(x)\pi$, dove h è una funzione a valori interi(infatti non possiamo presumere a priori che h sia costante). Sostituendo la (1) si ottiene: $[g(1)-g(0)]x+g(0)-g(2017)=h(x)\pi$, ossia $h(x)=\frac{[g(1)-g(0)]x+g(0)-g(2017)}{\pi}$, ma poichè x varia tra tutti i razionali è impossibile che h rimanga intero per ogni valore di x e dunque deve essere $g(1)-g(0)=0$, ossia $g(x)=g(0)=g(2017)$.
Dunque $\mathbf{f(x)}=r(x)e^{ig(x)} = e^{ax} e^{ig(2017)}=e^{a(x-2017)}\cdot e^{2017a}e^{ig(2017)}=\mathbf{f(2017) \cdot e^{a(x-2017)}}$ oppure $\mathbf{f(x)=0}$

[dan952]

Qualche idea...

Una generica funzione $f: QQ \mapsto CC$ ha la forma
$$f(x)=r(x)e^{i \theta(x)}$$
Dove $r: QQ \mapsto RR^{+}$ e $\theta: QQ \mapsto [0,2\pi)$, dalla prima ipotesi deduciamo che $\theta(x)=\text{cost}$ poiché
$$\frac{\bar{f(2017)}}{f(2017)}=\frac{\bar{f(x)}}{f(x)}=e^{2i\theta(x)}$$
Chiaramente di funzioni $r$ che soddisfano la seconda ipotesi non è che ce ne siano così tante...

[.Ruben.17]

"dan95":Qualche idea...

Una generica funzione $f: QQ \mapsto CC$ ha la forma
$$f(x)=r(x)e^{i \theta(x)}$$
Dove $r: QQ \mapsto RR^{+}$ e $\theta: QQ \mapsto [0,2\pi)$, dalla prima ipotesi deduciamo che $\theta(x)=\text{cost}$ poiché
$$\frac{\bar{f(2017)}}{f(2017)}=\frac{\bar{f(x)}}{f(x)}=e^{2i\theta(x)}$$
Chiaramente di funzioni $r$ che soddisfano la seconda ipotesi non è che ce ne siano così tante...

Si é bene o male quello che ho fatto io, forse complicandomi la vita.