Equazione diofantea

[.Ruben.17]

Risolvere, con a e b numeri primi, la seguente equazione:
[tex]a^b - b^a = ab^2 - 19[/tex]

[Leonardo9P]

Ho provato sostituendo un po. Alla fine ho trovato che mettendo a=2 e b=3 mi ritrovo (2^3)-(3)^2=2x(3^2)-19 quindi -1 = -1. E' giusto?

[Pachisi]

Ci provo:

Le uniche soluzioni $(a,b)$ sono $(2,3)$ e $(2,7)$.
Notiamo che se $a=b=2$, non abbiamo una soluzione.
Se $a=2$ e $b$ è un primo dispari, abbiamo $2^b=3b^2-19$. Ma $2^b>3b^2$ per $b \ge 8$. Controllando per $b=3,5,7$, le uniche soluzioni sono $(2,3)$ e $(2,7)$.
Se $b=2$ e $a$ è un primo dispari, abbiamo $a^2-2^a=4a-19$. Ma $2^a>a^2$ per $a \ge 5$ (anche per $a=1$, ma è inutile), quindi $a^2-2^a<0$ per $a\ge 5$. Abbiamo anche $4a-19>0$ per $a\ge 5$. Quindi, non abbiamo soluzioni in questo caso.
Se $a$ e $b$ sono entrambi primi dispari, abbiamo due casi: $a>b$ e $a Nel primo, abbiamo $a^b-b^a<0$ e $ab^2-19>0$, quindi non abbiamo soluzioni.
Nel secondo, abbiamo $a^b>b^a+ab^2$, quindi non abbiamo soluzioni.
Le uniche soluzioni sono quindi $(2,3)$ e $(2,7)$

[.Ruben.17]

Bella soluzione, chiara ed elegante
Io avevo ragionato con i moduli per dimostrare che non c'erano soluzioni con a e b dispari

[.Ruben.17]

"Pachisi":
Se $a$ e $b$ sono entrambi primi dispari, abbiamo due casi: $a>b$ e $a>b$.
Nel primo, abbiamo $a^b-b^a<0$ e $ab^2-19>0$, quindi non abbiamo soluzioni.
Nel secondo, abbiamo $a^b>b^a+ab^2$, quindi non abbiamo soluzioni.

L'ho riletto e forse(magari sto fraintendendo) c'è qualche errore

Infatti se a < b abbiamo
$a^b-b^a>0$ (si può dimostrare in molti modi, ma valga come esempio $3^5 - 5^3 $) ed abbiamo $ab^2-19>0$ , quindi questo non ci consente di escludere l'esistenza di soluzioni

con a > b quadra tutto invece

[Pachisi]

Ho scritto due volte $a>b$.
Se $ab^a+ab^2$. Quindi non abbiamo soluzioni.
Edito l'altro post.

[Gi81]

Dobbiamo risolvere $a^b -b^a= a b^2 -19$ tra i primi.

Si ha $b| a+19$ e $a|b-19$.

Ricordo il piccolo teorema di Fermat: se $p$ è primo, $AA m \in ZZ$ si ha \(m^p \equiv m \pmod{ p}\).
Riducendo l'equazione modulo $b$ si ottiene $a -= -19 (mod b)$.
Riducendo modulo $a$ si ottiene $-b-= -19 (mod a)$.

Distinguo due casi: $b>19$ e $b<=19$.

[1] Se $b> 19$ non ci sono soluzioni.

$b$ e $a+19$ sono entrambi positivi, dunque $b|a+19$ implica $b<=a+19$.
Dato che $b>19$, sia $a$ che $b-19$ sono positivi, quindi $a|b-19$ implica $a<= b-19$.
Allora si ha $a<= b-19 <=(a+19)-19=a$. Dato che primo e ultimo membro sono uguali,
le disuguaglianze intermedie sono tutte uguaglianze. In particolare $a=b-19$, cioè $b-a=19$.
Ma la differenza di due numeri primi non può mai fare $19$
(perchè se sono entrambi dispari la loro differenza è un numero pari,
e se $a=2$ allora $b=21$, che non è primo).

[2] Se $b<=19$ ci sono solo le soluzioni $(a,b)=(2,3)$ e $(a,b)=(2,7)$.

Si ha $b in {2,3,5,7,11,13,17,19}$.
Verifichiamo a mano le soluzioni:

[*:370pnsyq] $b=2 => a| -17 => a = 17$;
sostituendo viene $a^b-b^a = 17^2 -2^17$ (numero negativo)
e $ab^2 -19 = 17*2^2 -19$ (numero positivo), quindi non va bene.
[*:370pnsyq] $b=3 => a| -16 => a=2$;
sostituendo viene $a^b-b^a = 2^3-3^2 = -1$ e $a b^2 -19= 2*3^2 -19 = -1$.[/*:m:370pnsyq]
[*:370pnsyq] $b=5 => a| -14 => a= 2 vv a= 7$;
poiché si deve avere $b|a+19$,
se $a=2$ si avrebbe $5|21$, e se $a=7$ si avrebbe $5|26$, entrambi assurdi.[/*:m:370pnsyq]
[*:370pnsyq] $b=7 => a| -12 => a= 2 vv a= 3$;
$a=3$ non va bene (perché si avrebbe $7|22$)
invece $a=2$ sì: $a^b-b^a = 2^7-7^2 = 128-49= 79$ e $ab^2 -19= 2*49 -19= 98-19=79$.[/*:m:370pnsyq]
[*:370pnsyq] $b=11 => a| -8 => a= 2$;
non accettabile (perché si avrebbe $11|21$)[/*:m:370pnsyq]
[*:370pnsyq] $b=13=> a| -6 => a= 2 vv a= 3$;
non accettabili (perché si avrebbe $13|21$ o $13|22$).[/*:m:370pnsyq]
[*:370pnsyq] $b=17 => a| -2 => a= 2$;
non accettabili (perché si avrebbe $17 |21$).[/*:m:370pnsyq]
[*:370pnsyq] $b=19 => 19 |a+19 => a=19$.
non accettabile (perché $a^b-b^a = 0$ e $ab^2-19=19^3 -19>0$).[/*:m:370pnsyq][/list:u:370pnsyq]
[/*:m:370pnsyq][/list:u:370pnsyq]

[.Ruben.17]

Questo è suppergiú come l'ho risolta io