Equazione di terzo grado
Buonasera a tutti,
riporto qui un problema di quelli che alcuni chiamano "l'esame più difficile del mondo", ovvero l'esame per l'ammissione all'università coreana (Suneung):
Data la seguente equazione di terzo grado
\(\displaystyle 2x^3 -3x^2 -12x +k = 0 \)
trovare il valore di \(\displaystyle k \) per il quale l'equazione presenta 3 radici reali differenti.
le opzioni sono:
1) 20
2) 23
3) 26
4) 29
5) 32
Vorrei solo degli hint e non la soluzione.
O meglio: la soluzione mi dice essere la 3) 26, però non mi torna molto.
Considerate che l'esame consiste in 30 questi che vanno svolti in 100 minuti e questi sono ancora molto brevi, quindi direi che la risoluzione può impiegare max 3 minuti.
Che approccio usereste per iniziare?
Io so che esistono delle formule risolutive per le equazioni di terzo gardo (Eulero?) però difficili da ricordare e vorrei capire se si può fare in un modo più veloce e meno mnemonico
Se foste interessati a vedere l'esame qui il link (il testo degli esercizi è in coreano)
http://cdn2.kice.re.kr/question/s11n22_2.pdf
riporto qui un problema di quelli che alcuni chiamano "l'esame più difficile del mondo", ovvero l'esame per l'ammissione all'università coreana (Suneung):
Data la seguente equazione di terzo grado
\(\displaystyle 2x^3 -3x^2 -12x +k = 0 \)
trovare il valore di \(\displaystyle k \) per il quale l'equazione presenta 3 radici reali differenti.
le opzioni sono:
1) 20
2) 23
3) 26
4) 29
5) 32
Vorrei solo degli hint e non la soluzione.
O meglio: la soluzione mi dice essere la 3) 26, però non mi torna molto.
Considerate che l'esame consiste in 30 questi che vanno svolti in 100 minuti e questi sono ancora molto brevi, quindi direi che la risoluzione può impiegare max 3 minuti.
Che approccio usereste per iniziare?
Io so che esistono delle formule risolutive per le equazioni di terzo gardo (Eulero?) però difficili da ricordare e vorrei capire se si può fare in un modo più veloce e meno mnemonico
Se foste interessati a vedere l'esame qui il link (il testo degli esercizi è in coreano)
http://cdn2.kice.re.kr/question/s11n22_2.pdf
Risposte
Hint: pensa al grafico della funzione $y=$ il polinomio, non pensare alla formula risolutiva.
Si potrebbero fare dei tentativi con Rufini ma effettivamente potrebbe risultare un procedimento lungo e macchinoso. Oppure tentare una scomposizione. Per ora non mi viene in mente altro
"hydro":
Hint: pensa al grafico della funzione $y=$ il polinomio, non pensare alla formula risolutiva.
Sapendo come è fatto il grafico di una funzione di terzo grado, mi viene quindi questa possibile soluzione:
1) calcolo per quale valore di x ho il massimo e il minimo della funzione
2) calcolo per quale valore di k ottengo che il massimo è maggiore di zero e il minimo è minore di zero
Con questi due passaggi il teorema di Bolzano dovrebbe garantirmi di avere 3 soluzioni, sapendo che la funzione tende a \(\displaystyle +\infty \) per \(\displaystyle x \rightarrow + \infty \) e \(\displaystyle -\infty \) per \(\displaystyle x \rightarrow - \infty \).
\(\displaystyle y'= 6x^2-6x-12=0 \) calcolo la derivata e pongo uguale a zero
la rusoluzione dell'equazione sopra mi restituisce \(\displaystyle x_1= -1, x_2=2 \)
\(\displaystyle y(-1)=0 \) da cui \(\displaystyle k=-7 \)
\(\displaystyle y(2)=0 \) da cui \(\displaystyle k=20 \).
Quindi penso che per k=20 ho l'interezione del minimo con l'asse delle x..... non mi torna però con le opzioni di risposta che ho a disposizione
Penso di aver capito: deriva da una mia traduzione sbagliata del coreano.
Credo che il quesito chieda "Per quanti numeri interi è possibile avere tre radici reali e diverse" e non "per quale numero di k è possibile avere 3 radici reali e diverse".
Di conseguenza, tutti gli interi \(\displaystyle ]-7;20[ \) sono ok, quindi in totale per 26 interi.
Grazie mille per l'aiuto!
Credo che il quesito chieda "Per quanti numeri interi è possibile avere tre radici reali e diverse" e non "per quale numero di k è possibile avere 3 radici reali e diverse".
Di conseguenza, tutti gli interi \(\displaystyle ]-7;20[ \) sono ok, quindi in totale per 26 interi.
Grazie mille per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo