Equazione di 3° grado con dimostrazione

[Adiperc]

Esercitandomi con qualche "problemino" degli esami di ammissione alla SNS sono incappato a codesto esercizio che recita:
"Si supponga che l'eq. $ x^3+px^2+qx+r $

abbia tre radici reali. Sia $ d $ la differenza fra la radice maggiore e la rad. minore. Dimostra

$ p^2-3q<=d<=2(p^2-3q)/sqrt(3) $

Questo quesito mi ha messo cosí in difficoltà che ho intenzione di ristudiarmi tutta l'algebra del bienno (mi sa anche gli altri argomenti...) che credevo di aver assimilato...



Grazie in anticipo per le possibili risposte...

[anto_zoolander]

$P(x)=x^3+px^2+qx+r$

$P$ ha tre radici reali $lambda_1,lambda_2,lambda_3$ quindi $p(x)=prod_(k=1)^(3)(x-lambda_k)$

$p=lambda_1+lambda_2+lambda_3$
$q=lambda_1lambda_3+lambda_2lambda_3+lambda_1lambda_3$
$r=lambda_1lambda_2lambda_3$

prova a partire da qui. Magari può servirti anche la disuguaglianza di McLaurin

$root(3)(lambda_1lambda_2lambda_3)leqroot(2)((lambda_1lambda_2+lambda_1lambda_3+lambda_2lambda_3)/2)leq(lambda_1+lambda_2+lambda_3)/3$

[Adiperc]

Mi arrendo. No scherzo.

Le uniche cose che ho notato sono che
$ p^2-3q $ é praticamente uguale al quadrato di ciascuna radice...

Vabbe poi che quella disuguaglianza nel caso specifico, si può scrivere come $ root(3) (r)<= root(2) (q/2) <= p/3 $

Vorrei un piccolissimo input sul trovare $ d $...

[anto_zoolander]

Intanto secondo me bisogna ridurre all’osso i casi.

$•$ se le tre radici coincidono allora $lambda_1=lambda_2=lambda_3=lambda$
Da cui $p=3lambda,q=3lambda^2,r=lambda^3$ e la tesi è banalmente vera, considerare che se coincidono allora la differenza è zero tra la radice più grande. Inoltre a occhio vedi che $p^2-3q=0$

$•$ se due delle radici coincidono, puoi supporre a meno di un cambio di indici che $lambda_1=lambda_2=lambda$ e $lambda_3=mu$ e in questo caso si ottiene
$p=2lambda+mu$
$q=lambda^2+2lambdamu$
$r=lambda^2mu$

pertanto si avrà $d=lambda-mu$ oppure $-d$ dipende chi è maggiore. Supponiamo un attimo che $lambda>mu$
[size=135]$p^2-3q=4lambda^2+4lambdamu+mu^2-3lambda^2-6lambdamu=lambda^2-2lambdamu+mu^2=(lambda-mu)^2$[/size]

Chiaramente $(lambda-mu)^2leq2/sqrt3 (lambda-mu)^2$ ma si dovrebbe infilare quello in mezzo.

$•$ il terzo caso, dove tutte sono distinte, è quello di più difficile ovviamente.

Sicuro che il testo sia solo questo?

[spugna2]

Hint (che però non so quanto semplifichi il problema):

Si può supporre $p=0$ (perché?)

[Adiperc]

Non c'è altro riguardo al problema. Penso tuttavia che la soluzione si rifaccia al terzo caso ovvero quello più difficile... Comunque, visto che praticamente é la prima volta che mi approccio a questa tipologia di problemi cioè dimostrazioni non "standard" cosa tu/voi mi consiglieresti/ste per regolarmi con esse? So che se in 3ª liceo "imparo" a fare questa gamma di quesiti, mi potrebbe aiutare (anche molto, secondo me) in un eventuale CdL in facoltà di scienze...
Non é così?

[anto_zoolander]

@spugna
Ti riferisci al traslare la cubica togliendo il termine quadratico? Sarebbe un’idea in effetti.

@Adiperc
Comunque in genere questi sono problemi da gare di Archimede, Olimpiadi, ecc.. richiedono uno studio un po’ più approfondito di alcune cose. Più che conoscere millemila teoremi e non saperli collegare, è meglio conoscerne di meno ma saper avere occhio nell’utilizzarli.

[Adiperc]

@anto_zoolander mi sa che dovrò mettercimi perché noto che la mia preparazione è lacunosa (iperbole che rende l'idea), almeno l'algebra elementare la voglio padroneggiare in questi due anni...

[anto_zoolander]

Non si può sapere tutto della matematica.
Io per esempio algebra la odio a parte quattro cose poi se posso la evito, mi rapporto meglio con gli ingegneri che con l’algebra
Datti tempo e curiosità

[spugna2]

Un momento, forse non riesci a dimostrare quelle disuguaglianze perché sono false! ($p=r=0$ e $q=-1$)
Credo che ci debba essere $d^2$ anziché $d$...

[anto_zoolander]

Infatti a me è sorto sto dubbio, per questo ho chiesto conferma

[Erasmus_First]

"Adiperc":Esercitandomi con qualche "problemino" degli esami di ammissione alla SNS sono incappato a codesto esercizio che recita:
"Si supponga che l'eq. $ x^3+px^2+qx+r $

abbia tre radici reali. Sia $ d $ la differenza fra la radice maggiore e la rad. minore. Dimostra

$ p^2-3q<=d<=2(p^2-3q)/sqrt(3) $

a) Suppongo che si intenda l'equazione $x^3 +px^2+qx+r=0$. 
b) Affinché sia $p^2 – 3q ≤ 2/sqrt3(p^2 - 3q)$ occorre che sia $p^2 - 3q ≥ 0$. Ma questo non è sempre vero.
E non è sempre vero che, se le 3 radici sono tutte reali, la differenza $d$ tra la radice massima e quella minima) è compresa tra $p^2-3q$ e $2(p^2-3q)/sqrt3$.
Sia, per esempio:
$p = 6$; $q=11$; $r = 6$. Ossia: $P_3(x) =x^3+px^2+qx+r=x^3+6x^2+11x+6 = (x+1)(x+2)(x+3)$.
Abbiamo allora $p^2 - 3q=6^2 - 3·11 = 36-33=3$; $d = -1 – (-3) = 2$; $2/sqrt3(p^2-3q) = 2sqrt3$.
In questo caso abbiamo dunque
$2(p^2-3q)/sqrt3>p^2-3q>d$, (cioè: $2sqrt3>3>2$).

Ergo: si chiede l'impossibile (cioè di dimostrare che è sempre vero ciò che a volte è falso)
_______

[dan952]

Allego il sito dove si può vedere il testo corretto del problema [url=prove 2009/2010]https://www.sns.it/ammissione/ammissione-corso-ordinario/prove-di-esame-anni-precedenti[/url]

Soluzione:

Siano $\lambda_1 \leq lambda_2 \leq lambda_3$ le radici reali, poniamo $x:=\lambda_2-lambda_1$, consideriamo la funzione
$$f(x)=\frac{d^2}{x^2-dx+d^2}$$
Si verifica che nell'intervallo $[0,d]$ la funzione verifica
$$1 \leq f(x) \leq \frac{4}{3}$$
Da cui con un po' di calcoli si arriva alla tesi
$$\sqrt{p^2-3q} \leq d \leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{p^2-3q}$$

[Adiperc]

Grazie a tutti per le risposte...
Argh! @dan95 il fatto di porre la seconda radice $ lambda_2 $ compresa fra $ lambda_1 e lambda_3 $ ci ero arrivato ahahha.... (risata di sconforto...)
vabbe...